La división con decimales
En esta operación sí vamos a encontrar una diferencia con lo que hemos hecho hasta ahora porque aquí sí veremos las situaciones en las que tenemos que partir la unidad. Veremos sucesivamente diferentes casos.
Para dividir un número decimal entre un número natural, trabajamos como si los dos fueran enteros y en la «casita» de la división ponemos el punto decimal arriba del punto del dividendo.
Por ejemplo, si queremos dividir 54.72 entre 3, empezamos, como siempre, por el mayor orden, que aquí son las decenas, seguimos con las unidades, colocamos el punto decimal en el cociente seguimos con los décimos y los centésimos:
Observe que al hacer esta división repartimos las 5 decenas que tenemos en el dividendo entre 3 y nos sobraron 2 decenas. Éstas las agregamos a las cuatro unidades que ya teníamos. Dividimos las 24 unidades entre 3 y no nos sobró nada. Repartimos los 7 décimos que tenemos en el dividendo entre 3 y nos sobró un décimo. Éste se lo agregamos a los 2 centésimos que teníamos. Dividimos los 12.
Veamos otro ejemplo un poco distinto. Si queremos dividir 13.5 entre 4, repartimos 13 entre 4 y nos sobra una unidad que le agregamos a los décimos que tenemos. Dividimos los 15 décimos entre 4 y nos sobran 3 décimos. Como queremos seguir con el reparto, partimos los 3 décimos que sobraron en centésimos (frecuentemente decimos que bajamos el cero) y dividimos esos 30 centésimos entre 4; nos sobran 2 centésimos que partimos en milésimos. Quedan 20 milésimo que repartimos entre 4 y ya no sobra nada.
No siempre podemos llegar a tener un residuo cero. Por ejemplo, si dividimos 4 entre 3 toca a uno y sobra una unidad. Para seguir dividiendo tenemos que partir la unidad que queda en 10 décimos. Si ahora dividimos estos 10 décimos entre 3, toca a 3 y sobra un décimo que tenemos que partir en 10 centésimos. Volvemos a dividir entre 3, toca a 3 y sobra un centésimo que tenemos que dividir en milésimos. Observe que este proceso no se va a acabar nunca, siempre vamos a tener 10 entre 3 y siempre va a sobrar uno que vamos a partir en 10.
Como este proceso no termina nunca, tenemos que decidir hasta dónde vamos a continuar la división. Si decidimos llegar hasta una cifra decimal en el cociente, decimos que aproximamos la división hasta décimos. Si decidimos llegar hasta dos cifras decimales, decimos que aproximamos la división hasta centésimos, etc. Hasta cuántas cifras decimales se aproxima una operación se decide en general por el uso que se va a hacer del resultado. Por ejemplo, si el resultado es dinero casi siempre se usará una aproximación cuando mucho hasta centésimos (es decir, hasta centavos).
Al dividir 4 entre 3 obtuvimos un número en el que se repite una cifra decimal hasta el infinito; en ese caso se repite el tres. En 1.333…, tenemos 3 décimos, 3 centésimos, 3 milésimos, etc. Este número que se repite se llama período y para indicar su repetición hasta el infinito podemos escribirlo tres veces y poner puntos suspensivos o bien poner una pequeña curva sobre él que indica lo mismo: 1.333… = 1.3.
No siempre tenemos períodos con una sola cifra decimal. Por ejemplo, si dividimos dos entre siete, tenemos que partir los dos enteros en décimos; nos quedan 20 décimos. Al repartir van a tocar dos décimos a cada uno de los 7 y sobran 6 décimos. En el cociente tenemos que poner un punto decimal para indicar que el resultado empieza en décimos y, si queremos podemos poner cero enteros. Para repartir los 6 décimos que sobran, los tenemos que partir en centésimos, tenemos así 60 centésimos entre 7, toca a 8 y sobran 4 centésimos, que son 40 milésimos. Seguimos el proceso como se ve enseguida. Observe que a partir de un cierto lugar empiezan a repetirse los residuos y también empiezan a repetirse las cifras del cociente.
Por más que sigamos haciendo la división, se seguirán repitiendo los residuos y en el cociente se repetirán las cifras 285714, este es ahora el período. Podemos escribir el resultado de esta división repitiendo 3 veces el período y poniendo puntos suspensivos o podemos poner sobre el período una curvita para indicar esta repetición hasta el infinito:
2 ÷ 7 = 0.285714285714285714… = 0.285714
Si queremos dividir por un número con más de una cifra se procede como con los números naturales. Por ejemplo, si queremos dividir 435.98 por 12 tomamos las dos cifras del mayor orden del dividendo, que aquí forman 43 decenas, y vemos que sí se puede dividir ese número entre 12. Como 12 ´ 3 = 36, nos toca a 3 y sobran 43 – 36 = 7 decenas. Escribimos el 3 sobre el 3 de 43 y el residuo abajo de este mismo número. Las 7 decenas que sobran se las agregamos a las 5 unidades del dividendo y dividimos las 75 unidades entre 12. Nos toca a 6 unidades y sobran 3 porque 12 ´ 6 = 72 y 75 – 72 = 3. Ponemos en el resultado las 6 unidades y el punto decimal y el residuo bajo el 5 del 75. Las 3 unidades que sobraron, convertidas a 30 décimos, se las agregamos a los 9 décimos del dividendo y dividimos los 39 décimos entre 12, nos toca a 3 y sobran 3 décimos. Agregamos los 3 décimos sobrantes a los 8 centésimos que tenemos y dividimos los 38 centésimos entre 12. Nos toca a 3 centésimos y sobran 2 centésimos. Si queremos seguir la división partimos esos 2 centésimos sobrantes en 20 milésimos y los dividimos entre 12. Nos toca a 1 y sobran 8 milésimo. Se puede seguir la división hasta donde queramos; aquí vamos a parar en los milésimos.
El mismo procedimiento se sigue si queremos dividir un número decimal entre cualquier número natural. Para dividir un número decimal entre otro número decimal el procedimiento es un poco distinto y lo presentaremos después de hacer una pequeña observación.
Observe que si dividimos un número entre otro obtenemos lo mismo que si dividimos el primer número multiplicado por una potencia de diez entre el segundo número multiplicado por la misma potencia de diez. Por ejemplo, obtenemos el mismo resultado si dividimos 2.5 entre 3 que si dividimos 25 = 2.5 ´ 10 entre 30, o que si dividimos 250 entre 300, etc.
Veamos ahora cómo se divide un número decimal entre otro , por ejemplo 67.46 entre 2.3. Antes que nada observamos que el divisor tiene una cifra decimal. Multiplicamos tanto el divisor como el dividendo por diez para tener un número natural como divisor y dividimos como antes. En este ejemplo tenemos que 2.3 ´ 10 = 23 y que 67.46 ´ 10 = 674.6, así que la división será 674.6 entre 23:
El cociente de estas dos divisiones es el mismo porque en la segunda división el divisor y el dividendo son los de la primera división multiplicados por diez.
Si queremos dividir entre un número con más cifras decimales, multiplicamos el divisor y el dividendo por un uno y tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor para obtener en el divisor un número natural.
Por ejemplo, para dividir 46.75 entre 5.517 multiplicamos p o r 1000 los dos números, 5.517 ù 1000 = 5517 y 46.75 ù 1000 = 46750, y dividimos 46750 entre 5517. Podemos hacer la división con la cantidad de cifras decimales que queramos; aquí la hacemos hasta décimos.
