Los múltiplos y divisores

A veces nos interesa saber si una cantidad se puede repartir exactamente en partes iguales. Por ejemplo cuando pagamos una cuenta entre varios amigos. Aquí daremos criterios simples para saber si una división es exacta entre algunos números sencillos. Empezaremos por ver los conceptos de múltiplo y divisor que usaremos posteriormente.

Si multiplicamos un número natural por todos los números naturales obtenemos todos sus múltiplos. Por ejemplo si multiplicamos 2 por todos los naturales obtenemos los múltiplos de 2:

0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26…

Un número que es múltiplo de 2 se llama par; si no es múltiplo de 2 se llama impar.

Si dividimos un número par entre 2 la división es exacta. Decimos que 2 es divisor de cualquier número par o que 2 divide a cualquier número par, o que los números pares son divisibles entre dos o que son divisibles por dos.

Conocemos bien los diez primeros múltiplos de cada dígito porque aparecen en la tabla de multiplicar. A continuación hemos puesto los primeros 15 múltiplos de 2, 3, 5, 6 y 9 para hacer algunos comentarios sobre ellos.

Múltiplos de 2:  0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28…
Múltiplos de 3:  0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42…
Múltiplos de 4:  0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70…
Múltiplos de 6:  0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84…
Múltiplos de 9:  0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126…
Múltiplos de 10: 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100…

Observe que:

• 0 es múltiplo de cualquier número.

• Los múltiplos de 2 terminan en los dígitos pares 0, 2, 4, 6 u 8. Cualquier número que termine en un dígito par es divisible entre 2. Por ejemplo 578 es divisible por 2 porque termina en 8.

• Los múltiplos de 5 terminan en 0 o en 5. Cualquier número que termine en 0 o en 5 es divisible entre 5. Por ejemplo 135 es divisible por 5 porque termina en 5.

• Los múltiplos de 10 terminan en 0. Cualquier número que termine en 0 es divisible entre 10. Por ejemplo 1340 es divisible por 10 porque termina en cero.

• Los múltiplos de 3 terminan en cualquier cifra; sin embargo si sumamos las cifras de un múltiplo de 3, la suma es múltiplo de 3. Por ejemplo en 42 tenemos que 4 + 2 = 6 y 6 = 3 ´ 2. Cualquier número en que la suma de sus cifras es múltiplo de 3, es divisible entre 3. Por ejemplo 92145 es divisible por 3 porque 9 + 2 + 1+ 4 + 5 = 21 y 21 = 3 ´ 7. Otro ejemplo: ¿es divisible entre 3 el número 8579796? Hacemos 8 + 5 + 7 + 9 + 7 + 9 + 6 = 51, y podemos repetir el procedimiento con el resultado: 5 + 1 = 6, que es múltiplo de 3: entonces 8579796 es divisible por 3.

• Los múltiplos de 9 terminan en cualquier cifra, sin embargo si sumamos las cifras de un múltiplo de 9, la suma es múltiplo de 9. Por ejemplo en 117 tenemos que 1 + 1 + 7 = 9 y 9 = 3 ´ 3. Cualquier número en que la suma de sus cifras es múltiplo de 9, es divisible entre 9. Por ejemplo 83214 es divisible por 9 porque 8 + 3 + 2 + 1 + 4 = 18 y 18 = 9 ´ 2. Otro ejemplo: 87694587 es divisible por 9 porque 8 + 7 + 6 + 9 + 4 + 5 + 8 + 7 = 54 y 5 + 4 = 9 (o bien: 54 = 9 ´ 6).

• Los múltiplos de 6 son múltiplos de 2 y de 3. C u a l q u i e r número que sea divisible entre 2 y por 3 es divi s i b l e entre 6. Por ejemplo 45672 es divisible por 6 porquees par y porque 4 + 5 + 6 + 7 + 2 = 24 y 24 = 3 ´ 8.

Con estas observaciones podemos saber si la división entre 2, 3, 5, 6, 9 ó 10 va a ser exacta antes de hacerla y si no es exacta sabremos cuál va a ser el residuo. Veamos unos ejemplos:

El número 7920 es divisible entre 2, por 5 y por 10 porque termina en 0, es divisible entre 3 y por 9 porque 7 + 9 + 2 = 18 y 18 = 3 ´ 6 = 9 ´ 2, es divisible entre 6 porque es divisible entre 2 y entre 3.

El número 7921 no es divisible por 2, ni por 5, ni por 10 porque termina en 1, no es divisible por 3 ni por 9 porque 7 + 9 + 2 + 1 = 19 y 19 no es múltiplo de 3 ni de 9, y no es divisible por 6 porque no es divisible por 2. Si dividimos 7921 entre 2, o entre 5, o entre 10, nos va a sobrar uno que es lo que le sobra a la última cifra para ser 0. Si dividimos 7921 entre 3 o entre 9, nos va a sobrar uno que es lo que le sobra a la suma de las cifras para ser 18 que es el múltiplo de 3 y de 9 inmediatamente anterior a 19.

El número 7005 es divisible entre 5 porque termina en 5 y es divisible entre 3 porque 7 + 5 = 12 y 12 = 3 ´ 4. Este número no es divisible entre 2 porque termina en una cifra impar, no es divisible entre 10 porque no termina en 0, no es divisible entre 6 porque no es divisible entre 2, y no es divisible entre 9 porque 12 no es múltiplo de 9. Si dividimos 7005 entre 2, sobra 1 porque 4 es el dígito par más cercano a 5 y menor que 5. Si lo dividimos entre 10, sobran 5 porque es lo que le sobra a la terminación para ser 0. Si dividimos entre 6, sobran 3 porque en 7002 la suma de las cifras es múltiplo de 3 y la terminación es par. Si dividimos entre 9, sobran 3 pues a 12 le sobran 3 para ser múltiplo de 9.