Multiplicación de conjuntos

Sean A y B dos conjuntos. El conjunto producto de A y B que se representa por A x B (y se lee A por B), consiste en todos los pares ordenados (a, b) donde a € A y b €B.

El producto cartesiano A x B consiste en todos los pares ordenados (a, b) donde ‘a’ es un elemento del conjunto A y ‘b’ es un elemento del conjunto B. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {rojo, verde}, entonces A x B sería {(1, rojo), (1, verde), (2, rojo), (2, verde)}.»

El producto de un conjunto consigo mismo, es decir A x A, se representa por A2. Observemos que dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales si y sólo si sus primeros elementos a y c son iguales y sus segundos b y d son iguales. Es decir:

«Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) se consideran iguales si y solo si el primer elemento de ambos pares es igual (a = c) y el segundo elemento de ambos pares también es igual (b = d). Este concepto es fundamental en la definición de productos cartesianos y relaciones.»

(a) El lector está familiarizado con el plano cartesiano R2 = R x R. Aquí, cada punto P en el plano representa un par ordenado (a, b) de números reales y viceversa.

(b) Sea A = {1, 2, 3} y B = {a, b}. Entonces

A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

Se aplica el siguiente teorema.

Teorema 2.8. Supongamos que A y B son finitos. Entonces A x B es finito y:

Entonces su producto cartesiano A x B también es finito. Además, el tamaño del conjunto A x B es igual al producto de los tamaños de A y B. Por ejemplo, si A tiene 3 elementos y B tiene 2, entonces A x B tendrá 3 x 2 = 6 elementos.»

Fuente: Apuntes de Probabilidad y Estadística de la UNIDEG