Igualdad de los esfuerzos cortantes en planos perpendiculares

Para obtener una representación más completa de la acción de los esfuerzos cortantes, consideremos un pequeño elemento de material en la forma de un paralelepípedo rectangular con lados de longitud a, b y c en las direcciones x, y y z, respectivamente (Fig. 2.17a). Las caras anterior y posterior del elemento están libres de esfuerzo.

Supongamos ahora que un esfuerzo cortante T está distribuido de manera uniforme sobre la cara superior, que tiene un área ac. Para que el elemento esté en equilibrio en la dirección x, la fuerza cortante total t a c sobre la cara superior se debe equilibrar con una fuerza cortante igual pero dirigida en sentido opuesto sobre la cara inferior. Puesto que las áreas de las caras superior e inferior son iguales, se infiere que los esfuerzos cortantes sobre ambas son iguales.

Las fuerzas t a c que actúan sobre las caras superior e inferior (Fig. 2.17a) forman un par con un momento respecto al eje z de magnitud t abc, en sentido de las manecillas del reloj en la figura.

El equilibrio del elemento requiere que un momento igual y opuesto que resulte de esfuerzos cortantes en acción sobre las caras laterales del elemento equilibre dicho momento.

Si denotamos los esfuerzos sobre las caras laterales con t1, vemos que las fuerzas cortantes verticales son iguales a t1 bc. Estas fuerzas forman un par opuesto al movimiento de las manecillas del reloj de momento t1 abc. Del equilibrio de momentos respecto al eje z, vemos que t abc es igual a t1 abc o bien, t1 = t, por lo tanto, las magnitudes de los esfuerzos cortantes sobre las cuatro caras del elemento son iguales (Fig. 2.17a).

En resumen, podemos hacer las siguientes observaciones generales:

1. Los esfuerzos cortantes sobre caras opuestas (y paralelas) de un elemento son iguales en magnitud y opuestas en sentido.
2. Los esfuerzos cortantes sobre caras adyacentes (y perpendiculares) de un elemento son iguales en magnitud y tienen sentidos tales que ambos esfuerzos señalan hacia la línea de intersección de las caras o bien, ambos esfuerzos se alejan de tal línea.

Esas observaciones se obtuvieron en un elemento sometido sólo a esfuerzos cortantes (ningún esfuerzo normal), como se ilustra en la figura 2.17a. Este estado de esfuerzo se llama cortante puro.

Sin embargo, para la generalidad de nuestros propósitos las conclusiones anteriores son válidas aun cuando actúa en esfuerzos normales sobre las caras del elemento.

La razón es que los esfuerzos normales sobre caras opuestas de un elemento pequeño suelen ser iguales en magnitud y opuestos en sentido; por lo tanto, no alteran las ecuaciones de equilibrio usadas para llegar a las conclusiones precedentes.

Fuente: Apuntes de Resistencia de Materiales de la Unideg