Formula de torsión

El siguiente paso en el análisis es determinar la relación entre los esfuerzos cortantes y el par de torsión T. Una vez logrado esto, podremos calcular los esfuerzos y deformaciones unitarias en una barra debidos a la aplicación de cualquier conjunto de pares de torsión.

La distribución de los esfuerzos cortantes que actúan sobre una sección transversal se ilustra en las figuras 2.28c y 2.29. Dado que actúan en forma continua alrededor de la sección transversal, tienen una resultante en forma de un momento igual al par de torsión T que actúa sobre la barra.

Para hallar esta resultante, consideremos un elemento de área dA localizada a la distancia radial p del eje de la barra (Fig. 2.31). La fuerza cortante que actúa sobre este elemento es igual p dA, donde p es el esfuerzo cortante en el radio p. El momento de esta fuerza respecto al eje de la barra es igual a la fuerza multiplicada por su distancia al centro, o tp dA. Al sustituir el valor del esfuerzo cortante t dado por la Ecuación , podemos expresar este momento elemental como calcular los esfuerzos y deformaciones unitarias en una barra debidos a la aplicación de cualquier conjunto de pares de torsión.

El momento resultante (igual al par T) es la suma sobre toda el área de la sección transversal de todos los momentos elementales:

en donde

Es el momento polar de inercia de la sección transversal circular. Para un círculo de radio r y diámetro d, el momento polar de inercia es

Puede obtenerse una expresión para el esfuerzo cortante máximo reordenando la Ecuación, como sigue:

Esta ecuación, conocida como fórmula de la torsión, muestra que el esfuerzo cortante es proporcional al par aplicado T e inversamente proporcional al momento polar de inercia Ip.

Las unidades usadas con la fórmula de la torsión son las siguientes. En el sistema SI, el par T suele expresarse en newton metros (N•m), el radio r en metros (m), el momento polar de inercia Ip, en metros a la cuarta potencia (m4) y el esfuerzo cortante t en pascales (Pa). En unidades inglesas, T se suele expresar en libra-pies (lb-ft) o en libra-pulgadas (lb-in), r en pulgadas (in), Ip en pulgadas a la cuarta potencia (in4) y t en libras por pulgada cuadrada (psi).

Al sustituir en la fórmula de la torsión, obtenemos la siguiente ecuación para el esfuerzo máximo:

Esta ecuación es aplicable sólo a barras de sección transversal circular sólida, mientras que la fórmula de la torsión lo es a barras sólidas y a tubos circulares, como se explica luego. La Ecucación muestra que el esfuerzo cortante es inversamente proporcional al cubo del diámetro (o al cubo del radio). Entonces, si el diámetro se duplica, el esfuerzo se reduce por un factor de ocho.

Si conocemos el par y el diámetro de la barra, pode mos usar la fórmula estándar de la torsión o la versión alternativa para calcular el esfuerzo cortante máximo. Si se da un esfuerzo cortante permisible, podemos utilizar la Ecuación para encontrar el par permisible (si se conoce el diámetro) o el diámetro requerido (si se conoce el par). El esfuerzo cortante a una distancia p del centro de la barra es:

Fuente: Apuntes de Resistencia de Materiales de la Unideg