La División con números naturales

Usaremos un ejemplo para aclarar qué tipo de divisiones vamos a hacer por ahora: si tenemos 20 lápices y los queremos repartir entre los 8 compañeros del grupo de estudio, le damos 2 lápices a cada uno y nos sobran 4 para otra ocasión. Si lo que tuviéramos fueran $20 para repartir tendríamos que ver cuántos pesos y cuántos centavos le tocan a cada compañero. Las situaciones en que se tiene que partir la unidad, incluyendo cómo dividir un número entre uno mayor, las veremos después.

La manera en que se dividen números naturales es muy similar a la que empleamos al repartir dinero en partes iguales. Veamos un ejemplo: al señor Santiago le tienen que alcanzar $ 9 6 4 que le quedan para vivir 7 semanas. Los reparte por igual en 7 sobres de la siguiente manera:

• Pone un billete de $100 en cada sobre y cambia los 2 que le quedan por 20 monedas de $10 que junta con las otras 6 que ya tenía.

• Reparte las 26 monedas de $10 poniendo 3 en cada sobre. Las 5 monedas de $10 que le quedan las cambia por monedas de $1 y las junta con las 4 que ya tenía.

• Para repartir las 54 monedas de $1 que juntó pone 7 en cada sobre y le sobran 5 que guarda en una bolsa.

Una forma de escribir cómo repartió su dinero el señor Santiago es:

964 = 7 ´ 100 + 7 ´ 3 ´ 10 + 7 ´ 7 ´ 1 + 5

Otra manera de escribir esta repartición es la que se muestra a la derecha:

Recuerde que el número que se divide se llama dividendo, el número por el que se divide se llama divisor, lo que se obtiene en la repartición se llama cociente y lo que sobra se llama residuo.

Observe que el dividendo es igual al cociente por el divisor más el residuo:

964 = 137 ´ 7 + 5.

Otro ejemplo: Si queremos dividir 945 entre 7 nos fijamos en el número del mayor orden. Aquí tenemos 9 centenas, las repartimos entre 7, nos toca a una centena y sobran dos. Las 2 centenas que sobraron son 20 decenas, se las agregamos a las 4decenas de nuestro número. Esas 24 decenas las repartimos entre 7, tocan a 3 decenas y sobran 3. Las 3 decenas que sobran son 30 unidades, se las agregamos a las 5 unidades de nuestro número y repartimos las 35 unidades entre 7, toca a 5 y no sobra nada. En total obtuvimos que al repartir 945 entre 7 toca a cada uno de los siete 1 centena, 3 decenas y 5 unidades, es decir: 135.

Observe que aquí el dividendo es igual al cociente por el divisor porque el residuo es cero: 945 = 135 ´ 7. Se dice que la división es exacta cuando sobra cero como aquí. También podemos escribir 945 ¸ 7 = 135.

Veamos otro ejemplo. Para dividir 1743 entre 9 tomamos la cifra de mayor orden del dividendo, aquí es un millar, pero como 1 no se puede repartir entre 9, tomamos las dos cifras de mayor orden, 17 centenas, y las dividimos entre 9. Nos toca a 1 y sobran 8 centenas, que son 80 decenas, las agregamos a las 4 que ya tenemos y repartimos las 84 decenas entre 9. Nos toca a 9 y sobran 3 decenas, agregamos las 3 decenas sobrantes a las unidades de nuestro número y tenemos 33 unidades que repartimos entre 9. Les tocan 3 unidades y sobran 6. Observe que aquí el dividendo es igual al cociente por el divisor más el residuo: 1743 = 193 ´ 9 + 6 y que esta división no es exacta: aquí el residuo es 6.

Si queremos dividir entre un número con más cifras, por ejemplo 2435 entre 17, nos fijamos cuántas cifras tiene el divisor y tomamos esa misma cantidad de cifras de las de mayor orden del dividendo. Aquí como 17 cantidad de cifras de las de mayor orden del dividendo. Aquí como 17 tiene dos cifras, tomamos 24 centenas del dividendo y lo dividimos entre 17. Obtenemos una centena y nos sobran 7; las agregamos a las 3 decenas que tenemos y dividimos las 73 decenas entre 17. Obtenemos 4 decenas y sobran 5; las agregamos a las 5 unidades que tenemos y dividimos las 55 unidades entre 17. Obtenemos 3 unidades y sobran 4. Recuerde que el dividendo es igual al cociente por el divisor más el residuo: 2435 = 143 ´ 17 + 4.

Veamos otro ejemplo: dividamos 54098 entre 671. Como el divisor tiene tres cifras, tomamos 540 centenas del dividendo, pero como 540 no se puede dividir entre 671, tomamos 5409 decenas y las dividimos entre 671. Nos decenas y las dividimos entre 671. Nos toca a 8 decenas y sobran 41; las agregamos a las 8 unidades que tenemos y dividimos las 418 unidades entre 671. Como no se pueden dividir, nos toca a 0 unidades y sobran las 418 como residuo. El dividendo es igual al cociente por el divisor más el residuo: 54098 = 80 ´ 671 + 418.

Cada uno de los componentes de las divisiones nos aporta una información distinta.

Veamos un ejemplo. Queremos empacar 220 naranjas que tenemos en bolsas en las que caben 26 naranjas, ¿cuántas bolsas necesitamos? Si hacemos grupos de 26 naranjas, dividiendo las 220 que tenemos entre 26 obtenemos la división que se muestra.

Esto significa que podemos llenar 8 bolsas con 26 naranjas cada una y quedan sin empacar 12 naranjas; o bien, necesitamos una bolsa más para empacar esas 12 naranjas, en total 9 bolsas.

Analicemos ahora los casos particulares de la división con ceros. Veamos primero qué pasa cuando el dividendo es cero; por ejemplo, dividamos 0 entre 26. Si pensamos en el ejemplo anterior, esto significa que queremos empacar 0 naranjas en bolsas en las que caben 26 naranjas.

Evidentemente, si no hay naranjas que empacar tampoco hay bolsas llenas de naranjas. Nos da una división exacta con cociente igual a cero: 0 ¸ 26 = 0. Esto ocurre siempre: cero entre cualquier número da cero.

¿Y qué ocurre cuando el divisor es cero? Intentemos dividir 220 entre cero, y pensemos nuevamente en el ejemplo de las naranjas: queremos empacar 220 naranjas en bolsas en las que caben 0 naranjas. Pero si no caben naranjas, no podemos empacar nada: no se puede hacer esta división. Esto ocurre siempre: no se puede dividir entre cero.