Las propiedades de la multiplicación

Si queremos multiplicar más de dos números se multiplican dos de ellos y el resultado se multiplica por el otro número.  Por ejemplo si queremos multiplicar 5 ´ 7 ´ 9, podemos multiplicar primero 5 ´ 7 = 35 y después 35 ´ 9 = 315, o bien podemos empezar con 7 ´ 9 = 63 y luego 5 ´ 63 = 315. Esto se expresa de la siguiente manera:

5 ´ 7 ´ 9 = (5 ´ 7) ´ 9 = 5 ´ (7 ´ 9)

Los paréntesis de la expresión anterior indican el orden en el que se opera. Es decir, sirven para agrupar o asociar los números que están dentro. Si no se quiere hacer explícito el orden en el que se opera se escribe sólo 5 ´ 7 ´ 9 . Es conveniente elegir cómo agrupamos los números pues esto puede facilitar las operaciones. Por ejemplo si queremos multiplicar 5 ´ 2 ´ 3 ´ 9 podemos agrupar de distintas maneras pero en unas es más fácil hacer las operaciones que en otras:

(5 ´ 2) ´ (3 ´ 9) = 10 ´ 27 = 270

5 x [2 v (3 ´ 9)] = 5 ´ (2 ´ 27) = 5 ´ 54 = 270

[((5 ´ 2) ´ 3) x 9)] = (10 ´ 3) ´ 9 = 30 ´ 9 = 270

Observe que unos paréntesis envuelven a otros y que las operaciones que se hacen primero son las que están hasta adentro.

Cuando empezamos a trabajar con la multiplicación dijimos que 7 ´ 29 es 7 veces 29 y que eso es lo mismo que tomar 7 veces 20 y sumarle 7 veces 9. Esto es importante y es necesario comentarlo.

Tendremos siete veces $29. Para contar el dinero es más fácil contar los billetes de 10, que son 14 y aparte las monedas, que son 63. Podemos entonces cambiar $60 en monedas por 6 billetes de 10, con lo que tenemos 14 + 6 = 20 billetes y quedan 3 monedas de $1. En total , entonces, tenemos $203. Si queremos expresar en matemáticas la separación que hicimos y

7 ´ 29 = 7 (20 + 9) = (7 20) + (7 9) = 140 + 63 = 203

y decimos que la multiplicación se distribuye con respecto a la suma porque se está repartiendo en cada sumando:

Esta manera de operar se puede usar con otros números y es importante saber hacerlo, tanto para entender temas posteriores en matemáticas como para el cálculo mental.

Veamos algunos ejemplos de cómo puede ayudar esta manera de repartir la multiplicación para el cálculo mental. Esto lo hacemos cuando tenemos una multiplicación en la que uno de los factores se puede descomponer en la suma de dos números que sean fáciles de multiplicar por el otro factor.

Por ejemplo se puede multiplicar fácilmente 12 ´ 44 descomponiendo el factor 44:

12 ´ 44 = 12 ´ (40 + 4) = (12 ´ 40) + (12 ´ 4) = 480 + 48 = 528

Otra manera de hacer la misma multiplicación es descomponiendo el otro factor:

12 ´ 44 = (10 + 2) ´ 44= (10 ´ 44) + (2 ´ 44) = 440 + 88 = 528

También se puede multiplicar fácilmente 8 ´ 7235:

8 ´ 7235= 8 ´ (7000 + 200 + 30 + 5) =

= (8 ´ 7000) + (8 ´ 200) + (8 ´ 30) + (8 ´ 5) =

=     56000   +   1600     +    240    +   40    = 57880

Con este procedimiento se pueden multiplicar también dos sumas. Se toma una como factor y se distribuye en la otra suma; luego se distribuye la suma utilizada al principio como factor. Por ejemplo:

(7 + 9) ´ (5 + 8) = ((7 + 9) ´ 5) + ((7 + 9) ´ 8) =

= (7 ´ 5) + (9 ´ 5) + (7 ´ 8) + (9 ´ 8) =

=     35   +    45   +     56    +    72   = 208

Así como la multiplicación se distribuye con respecto a la suma, también la multiplicación se distribuye con respecto a la resta. Veamos un ejemplo:

Una de las aplicaciones más frecuentes de este último resultado es en la multiplicación mental por 9, 99, 999, etc. Veamos algunos ejemplos:

13 ´ 9 = 13 ´ (10 – 1) = (13 ´ 10) – (13 ´ 1) = 130 – 13 = 117

99 ´ 415 = (100 – 1) ´ 415 = (100 ´ 415) – (1 ´ 415) = 41500 – 415 = 41085

9999 ´ 1053 = (10000 – 1) ´ 1053 = (10000 ´ 1053) – (1 ´ 1053) =

= 10530000   – 1053 = 10528947