Matriz de transformación

Como la matriz de rotación 3 X 3 no nos da ninguna posibilidad para la traslación y el escalado, se introduce una cuarta coordenada o componente al vector de posición P = (px, py, pz)T es un espacio tridimensional que lo transforma en ^P = (wpx, wpy, wpz, w)T.

Decimos que el vector de posición del ^P se expresa en coordenadas homogéneas. El concepto de una representación en coordenadas homogéneas en un espacio euclídeo tridimensional es útil para desarrollar transformaciones tridimensionales que incluyan rotación, translación, escalado, transformación de perspectiva. En general, la representación de un vector de posición de N componentes por un vector de (N+ 1) componentes se llama representación en coordenadas homogéneas, la representación de un vector N-dimensional se efectúa en el espacio (N+1)-dimensional y el vector físico N-dimensional se obtiene dividiendo las coordenadas homogéneas por la coordenada N+1 que es W. Así, en el espacio tridimensional, un vector de posición P = (px, py, pz)T se representa por un vector ampliado (wpx, wpy, wpz, w)Tes la representación de coordenadas homogéneas, las representaciones físicas se relacionan a las coordenadas homogéneas como sigue:

Px = wpx, Py = wpy, Pz = wpz.
W W W

La matriz de transformación homogénea es una matriz 4 X 4 que transforma un vector de posición expresado en coordenadas homogéneas desde un sistema de coordenadas hasta otra sistema de coordenadas. Una matriz de transformación homogénea se puede considerar que consiste en cuatro submatrices:

R (3 X 3)   | P (3 X 1)      matriz de            vector de
rotación             posición
T =      ———-   |   ———-   =         —                         —
f (1 X 3)         1 X 1      transformación      escalado
de perspectiva

Donde:

La submatriz R (3 X 3) ==> Es la matriz de rotación.
La submatriz P (3 X 1) ==> Es el vector de posición del origen del sistema de coordenada rotado con respecto al sistema de referencia.
La submatriz f (1 X 3) ==> Transformación de perspectiva.
La submatriz 1 X 1 ==> El factor de escala global.

La submatriz P (3 X 1) de la matriz de transformación homogénea tiene el efecto de trasladar el sistema de coordenadas OUVW que tiene ejes paralelos al sistema de coordenadas de referencia OXYZ, pero cuyo origen esta en (dx, dy, dz) del sistema de coordenadas de referencia:

1 0 0 dx
0 1 0 dy
Ttrans = 0 0 1 dz
0 0 0 1

Esta matriz de transformación 4 X 4 se llama matriz de traslación homogénea básica.

La submatriz f (1 X 3) representa la transformación de perspectiva, que es útil para visión por computadora y la calibración de modelos de cámara.

Los elementos de la diagonal principal de una matriz de transformación homogénea producen escalado local y global. Los tres primeros elementos diagonales producen un alargamiento o escalado local, como el siguiente:

a 0 0 0 x       ax
0 b 0 0 y       by
Ttrans = 0 0 c 0 z   =   cz
0 0 0 1 1        1

Los valores de las coordenadas se alargan mediante los escalares a, b y c, respectivamente.