Las proporciones directas

Con frecuencia se oye hablar de proporciones o de que algo está proporcionado o no lo está. Para comprender esas expresiones correctamente es conveniente precisar algunos términos. Empezaremos con algunos ejemplos. La señora Boni vende comida para llevar. Una comida corrida cuesta $17.50 e incluye sopa aguada, arroz y guisado. Para poder cobrar rápido cuando hay muchos clientes hizo una tablita de precios según el número de comidas que le pidan. Complete la tabla.

En este ejemplo el costo varía en la misma proporción que la cantidad de comidas: para el doble de comidas tenemos el doble del costo, para el triple de comidas tenemos el triple del costo, etc. En este caso decimos que tenemos una variación directamente proporcional o que el costo es directamente proporcional a la cantidad de comidas. Para calcular el costo de una cierta cantidad de comidas se multiplica esa cantidad por el costo de una comida; por ejemplo para calcular el costo de ocho comidas se multiplica 8 ´ 17.50 = 140. El número por el que multiplicamos se llama constante de proporcionalidad. Si quisiéramos calcular el costo de 31 comidas, multiplicamos 31 por la constante de proporcionalidad, 31 ´ 17.50 = 542.50. Observe que podemos escribir una regla para saber cuánto hay que pagar según el número de comidas: si c es la cantidad de comidas y p es lo que tenemos que pagar, la regla es c ´ 17.50 = p.

Si no conocemos la constante de proporcionalidad la podemos calcular si con-t a m o s con otros datos. Por ejemplo, supongamos que llegamos un día con la señora Boni y le compramos 14 comidas; ella nos cobra $245. Al dividir 245 entre 14 sabremos que cada comida nos costó $17.50 y esta cantidad es aquí la constante de proporcionalidad.

Veamos otro ejemplo. Un tubo roto tira 90 litros de agua cada 6 minutos. ¿Cuántos litros de agua tira cada minuto? ¿Cuántos litros de agua tira en una hora? ¿Cuántos litros de agua habrá tirado dentro de dos días?

Si cada 6 minutos se tiran 90 litros de agua, cada minuto se tiran 90 ¸ 6 = 15 litros de agua. Si nos interesa calcular por minutos el agua que se tira, en este ejemplo tenemos que 15 es la constante de proporcionalidad y para cualquier número de minutos podemos calcular el número de litros de agua que se tira. Como en una hora hay 60 minutos, entonces en una hora se tiran 60 ´ 15 = 900 litros de agua. También aquí podemos escribir una fórmula para calcular la cantidad de agua que se tira conforme al tiempo que pasa en minutos.

Si t es el tiempo en minutos y a es la cantidad de agua que se tira, la fórmula es t ´ 15 = a. Complete la tabla.

Sabemos también que en un día hay 24 horas, y en dos días hay 48 horas. Como en una hora se tiran 900 litros de agua, en 48 horas se tiran 48 ´ 900 = 43200 litros de agua. Si nos interesa calcular por horas el agua que se tira, en este ejemplo tenemos que 900 es la constante de proporcionalidad y para cualquier número de horas podemos calcular el número de litros de agua que se tira. Si aquí llamamos s al tiempo en horas y g a la cantidad de agua que se tira, la fórmula

s ´ 900 = g nos permite calcular cuánta agua se tira si conocemos cuántas horas han pasado o el tiempo si sabemos cuánta agua se ha tirado. Complete la tabla. ¡Cuidado! No todas las variaciones son proporcionales y hay que tener cuidado al decidir si una variación es proporcional o no lo es porque podríamos llegar a resultados absurdos. Veamos un ejemplo. Juan acaba de entrar a la primaria, tiene 6 años y usa pantalones talla 6. Si consideramos que esta relación es proporcional, cuando Juan tenga 20 años usará pantalones talla 20, cuando tenga 34 años usará talla 34, cuando tenga 45 años usará talla 45 y su abuelito que tiene 87 años debe usar talla 87. ¡No!, ¿verdad? La forma en que varía la talla de pantalones que usamos en relación con la edad no es proporcional. Hay relación directamente proporcional cuando al aumentar una cantidad aumenta la otra cantidad en la misma proporción que la primera.