Números naturales ecuaciones

Observe la siguiente tabla y diga cuáles son los números que faltan.

Es sencillo encontrar la regla de construcción que se usó para obtener los números del segundo renglón a partir de los números del primer renglón: se multiplica por tres el número de arriba para obtener el de abajo.

En matemáticas se acostumbra expresar una regla como la que acabamos de encontrar usando letras. Si llamamos r a los números del renglón de arriba de la tabla y t a los del renglón de abajo, podemos expresar la regla como r ´ 3 = t.

En la tabla siguiente se usó una regla distinta para construir los números del segundo renglón a partir de los del primero. ¿Cómo encontramos la regla y cómo la expresamos en matemáticas?

Para encontrar la regla debemos preguntarnos qué operaciones hicimos con los números de arriba para obtener los de abajo. Hay varias maneras de obtener 4 partiendo de 1, por ejemplo sumándole 3: 1 + 3 = 4, pero si hacemos lo mismo con 3 no

obtenemos 10, porque 3 + 3 = 6. Entonces hay que buscar otra manera. Si multiplicamos el uno por 3 y le sumamos uno también obtenemos 4: 1 ´ 3 + 1= 4. Probemos si funciona con el siguiente número: 3 ´ 3 + 1 = 10: sí funciona. Probemos con los siguientes números:

5 ´ 3 + 1 = 16         7 ´ 3 + 1 = 22          9 ´ 3 + 1 = 28

Como sí funciona con todos, la regla que sirve es «se multiplica el número de arriba por 3 y se suma uno» y la podemos expresar como g ´ 3 + 1 = h.

Veamos otro ejemplo. Para construir la regla que se usó en la tabla siguiente, primero vamos a tratar de encontrar el proceso que se siguió para obtener los números del segundo renglón a partir de los del primero.

Hay muchas maneras de obtener 20 a partir de 2 pero la que escojamos tiene que servir para obtener 24 a partir de 3.

Probemos empezando con lo más simple: una multiplicación o una suma. Multiplicar por 10 no sirve porque 3 ´ 1 0 à 2 4 ; sumar 18 tampoco sirve porque 3 + 1 8 à 2 4. Tenemos entonces que buscar una combinación de sumas y multiplicaciones. Si nos fijamos en que 20, 24 y 32 son múltiplos de 4, podemos sospechar que al final se multiplicó por 4 y en el paso anterior tendríamos los números 5, 6 y 8. Como estos últimos salen de sumar 3 a los números del primer renglón, 2, 3 y 5, ya encontramos el proceso.

Vamos a escribir la regla en palabras y en símbolos. La regla es: para obtener un número del segundo renglón, c, tomamos un número del primer renglón, q, le sumamos 3 y multiplicamos el resultado por 4. Podemos expresar esta regla con la fórmula c = ( q + 3 ) ´ 4. Recuerde que los paréntesis indican que primero debemos calcular q + 3 y después multiplicar el resultado de esa suma por 4.

Podemos ahora llenar la tabla aplicando nuestra fórmula a los números del primer renglón. Es decir, substituimos q por cada uno de los números del primer renglón y encontramos c:

• c = (7 + 3) ´ 4 = 40                    • c = (9 + 3) ´ 4 = 48

• c = (11 + 3) ´ 4 = 56                   • c = (13 + 3) ´ 4 = 64

• c = (15 + 3) ´ 4 = 72

Aquí nos detenemos porque ya no tenemos los números del primer renglón sino los del segundo. Ahora conocemos c y no conocemos q pero sabemos que estos números se construyeron con la misma regla. Veamos cómo usar la misma fórmula para encontrar los números del primer renglón. Substituimos c por cada uno de los números del segundo renglón y vamos «deshaciendo» las operaciones en orden:

• 80 = (q + 3) ´ 4, entonces antes de multiplicar por 4 teníamos (q + 3) = 20 y entonces q = 17;

• 88 = ( q + 3 ) ´ 4, entonces (q + 3 ) = 22 y entonces q = 1 9 ;

• 9 6 = ( q + 3 ) ´ 4, entonces (q + 3 ) = 24 y entonces q = 2 1 ;

• 1 0 4 = ( q + 3 ) ´ 4, entonces (q + 3 ) = 26 y entonces q = 2 3 .

Encuentre usted los números que faltan; debe obtener 25, 27, 29 y 31.

Observe que con la tabla anterior también se puede construir la fórmula c = q ´ 4 + 12. Es decir, se puede tomar un número del primer renglón, multiplicarlo por 4 y sumarle 12 al resultado para obtener los números del segundo renglón.

Tenemos de esta manera dos fórmulas equivalentes, es decir que nos dan los mismos resultados. En realidad no es asombroso encontrar esta otra fórmula, la podemos obtener de la primera fórmula que construimos, c = ( q + 3 ) ´ 4 si distribuimos el producto en la suma. Para que sea más fácil verlo vamos a reacomodar la fórmula original, utilizando el hecho de que c = ( q + 3 ) ´ 4 = 4 ´ ( q + 3). Ahora distribuyamos el producto en la suma:

c = 4 ´ (q + 3) = 4 ´ q + 4 ´ 3

El segundo sumando son números, podemos multiplicarlos y en el primer sumando cambiamos de orden la multiplicación. Obtenemos: c = q ´ 4 + 12 que es la nueva fórmula.

Veamos otro ejemplo. Como antes, empezamos por buscar el proceso que se siguió en la siguiente tabla para obtener los números del segundo renglón a partir de los del primero.

Intentamos primero con operaciones simples. Como 0 es menor que 2, no probamos con una suma sino con una resta: 2 – 2 = 0, pero 4 – 2 à 1, entonces no sirve. Multiplicar tampoco sirve porque sólo 2 ´ 0 = 0 y si la regla es multiplicar por cero, todo el renglón de abajo sería de ceros. Dividir no sirve porque ninguna división da cero. Tenemos entonces que probar con combinaciones de operaciones.

Como en la tabla los números de abajo son más chicos que los de arriba podemos probar sumarles algo, por ejemplo 1. Al sumar 1 a 0, 1 y 2 obtenemos 1, 2, y 3, que son la mitad de 2, 4 y 6. Entonces al final se restó 1 y antes se dividió entre 2. Ya tenemos el proceso, vamos a escribir la regla y la fórmula: para obtener un número del segundo renglón, tomamos un número del primer renglón, lo dividimos entre 2 y al resultado le restamos 1. Esta regla la expresamos con la fórmula x = (d ÷ 2) – 1.

Ya que tenemos la fórmula podemos completar la tabla substituyendo en ella los números del primer renglón en vez de d , o los del segundo ren ahora el renglón de abajo:

• 8 = (d ÷ 2) – 1, entonces (d ÷ 2) = 9 y entonces d = 18

• 9 = (d ÷ 2) – 1, entonces (d ÷ 2) = 10 y entonces d = 20, etc.