Curvatura de una viga

Cuando se aplican cargas a una viga, el eje longitudinal adopta la forma de una curva. Las deformaciones unitarias y los esfuerzos resultantes en la viga se relacionan directamente con la curvatura de la curva de deflexión.

Para ilustrar el concepto de curvatura, consideremos de nuevo una viga en voladizo sometida a una carga P que actúa en el extremo libre.

Para fines de análisis, identificamos dos puntos, m1 y m2, sobre la curva de deflexión. El punto m1 se selecciona a una distancia arbitraria x desde el eje y y el punto m2 se localiza a una pequeña distancia ds a lo largo de la curva.

En cada uno de estos puntos dibujamos una línea normal a la tangente a la curva de deflexión; es decir, normal a la curva misma. Estas normales se cortan en el punto 0′, que es el centro de curvatura de la curva de deflexión.

Dado que la mayoría de las vigas tienen deflexiones muy pequeñas y curvas de deflexión casi planas, el punto 0′ suele quedar mucho más alejado de la viga que como se indica en la figura.

La distancia m10′ de la curva al centro de curvatura se llama radio de curvatura p y la curvatura k se define como el recíproco del radio de curvatura. Entonces:

La curvatura es una medida de cuán agudamente está doblada una viga. Si la carga sobre una viga es pequeña, ésta permanecerá casi recta, el radio de curvatura será muy grande y la curvatura muy pequeña. Si la carga se incrementa, al flexión aumentará, el radio de curvatura será más pequeño y la curvatura será mayor.
De la geometría del triángulo 0’m1m2, obtenemos

p d0 =ds (a)

en donde d0 (medido en radianes) es el ángulo infinitesimal entre las normales y ds es la distancia infinitesimal a lo largo de la curva entre los puntos m1 y m2. Combinamos la Ec. a) con la Ecuación y obtenemos

k= 1 = d0
p ds

Esta ecuación se obtiene en los libros de texto de cálculo básico y es válida para cualquier curva, sea cual sea la cantidad de curvatura. Si la curvatura es constante a todo lo largo de la longitud de una curva, el radio de curvatura también será constante y la curva será un arco de círculo.

Las deflexiones de una viga suelen ser muy pequeñas comparadas con su longitud (considérense, por ejemplo, las deflexiones del marco estructural de un automóvil o de una viga en un edificio). Las deflexiones pequeñas significan que la curva de deflexión es casi plana.

En consecuencia, la distancia ds a lo largo de la curva puede considerarse igual a su proyección horizontal dx (vea la Fig. 3-5b). En esas condiciones especiales, la ecuación para la curvatura es

La curvatura y el radio de curvatura son funciones de la distancia x medida a lo largo del eje x. Se infiere que la posición 0′ del centro de curvatura depende también de la distancia x. La curvatura en un punto particular sobre el eje de una viga depende del momento flexionante en dicho punto y de las propiedades de la viga (forma de la sección transversal y tipo de material); por lo tanto, si la viga es prismática y el material es homogéneo, la curvatura variará sólo con el momento flexionante. En consecuencia, una viga en flexión pura tendrá curvatura constante y una viga en flexión no uniforme, curvatura variable.

La convención de signos para la curvatura depende de la orientación de los ejes coordenados. Si el eje x es positivo hacia la derecha y el eje y es positivo hacia arriba, la curvatura es positiva cuando la viga se flexiona con su concavidad hacia arriba (o convexa hacia abajo) y el centro de curvatura queda arriba de la viga. De manera inversa, la curvatura es negativa cuando la viga se flexiona con su concavidad hacia abajo (o convexa hacia arriba) y el centro de curvatura queda debajo de la viga.

Fuente: Apuntes de Resistencia de Materiales de la Unideg