La Multiplicación

Como usted ya sabe, la multiplicación es una manera abreviada de sumar. Recordemos esto brevemente con un ejemplo: si queremos saber cuántos cuadritos como el que está marcado hay en la siguiente figura, podemos contarlos de varias maneras:

Podemos contarlos de uno en uno

Podemos observar que en cada columna hay tres cuadros y, como tenemos 8 columnas, sumar ocho veces tres:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 24

Esta suma la podemos abreviar como 8 x 3 = 24. Ocho por tres significa sumar ocho veces tres.

Podemos también observar que en cada renglón hay 8 cuadros y, como tenemos 3 renglones, sumar tres veces ocho:

8 + 8 + 8 = 24

Esta suma la podemos abreviar como 3 x 8 = 24. Tres por ocho significa sumar tres veces ocho.

Hemos visto cómo la multiplicación es una forma corta de escribir una suma que se repite. Además, todas las multiplicaciones se basan en la multiplicación de dígitos, es entonces conveniente conocer los productos de los dígitos.

Recuerde que la multiplicación también se llama producto y que los números que se multiplican se llaman factores.

En la parte inferior hemos puesto la tabla básica de multiplicación con los dígitos y hemos llenado una parte.

Observe que cada cuadro es el cruce de una columna y un renglón y que en el cuadro está el producto del dígito que está al pie de esa columna y el dígito que está a la izquierda de ese renglón. Como un ejemplo en la tabla se marcó con flechas cómo se obtiene 6 ´ 3 = 18.

Complete la tabla. Observe que en el ejemplo se vio además lo que la sabiduría popular repite frecuentemente: el orden de los factores no altera el producto. Esta observación le permitirá llenar su tabla más fácilmente, por ejemplo para llenar el cuadro correspondiente a 3 ´ 6 basta con copiar lo que está en el cuadro que corresponde a 6 ´ 3.

Si usted tiene dificultad para memorizar las sumas o los productos de los dígitos, le sugerimos que cuando esté realizando una actividad mecánica que no requiera su atención, o cuando tenga un rato libre, cuente hasta cien y luego de regreso primero de dos en dos, luego de tres en tres, etc. hasta que lo haga de nueve en nueve. Y cuando se siente a hacer los ejercicios de este libro consulte las tablas de suma y de producto de dígitos cada vez que las necesite.

Recordemos ahora cómo se multiplican números con más de una cifra.

Empecemos con un número de dos cifras y un dígito, por ejemplo 29 y 7, es decir, queremos encontrar 7 veces 29. Esto va a ser 7 veces 20 y siete veces 9, es decir 7 ´ 20 = 140 y 7 ´ 9 = 63 sumados. No cambia el resultado si cambiamos el orden en el que multiplicamos, podemos poner primero 7 ´ 9 = 63, luego 7 ´ 20 = 140 y luego sumar.

2   9
x          7 
1  4  0
     6  3
2   0  3

2   9
x          7
6  3
  1  4 0
2   0  3

Observe que 7 ´ 20 = 140 lo podemos leer como ciento cuarenta unidades o como 14 decenas. Es por esto que con frecuencia se acostumbra no escribir el cero de 140 pero acomodar el 4 en el lugar de las decenas. Tal vez usted esté acostumbrado a ver la operación que acabamos de hacer escrita de alguna de las maneras que se muestran aquí.

2   9
x          7
1  4
    6   3
2   0  3

2   9
x          7
6  3
   1   4
2   0  3

Se puede también multiplicar las unidades por las unidades: 7 ´ 9 = 63, anotar las unidades en el resultado, recordar las 6 decenas que se obtuvieron, agregarlas mentalmente a las 14 decenas que se obtienen al multiplicar 7 por las 2 decenas de 29, y anotar el total de las decenas.

2   9
x          7
2   0  3

Con este último procedimiento multiplicamos por ejemplo 284 ´ 6 de la siguiente manera: en primer lugar multiplicamos las unidades que tenemos en el segundo factor por las unidades del primer factor: 6 ´ 4 = 24, anotamos las 4 unidades del resultado y recordamos las 2 decenas que obtuvimos («llevamos dos»); en segundo lugar multiplicamos las 6 unidades por las 8 decenas del primer factor, y obtenemos 6 ´ 8 = 48 decenas, agregamos las 2 decenas de la multiplicación anterior, obtenemos 48 + 2 = 50 decenas, que son 5 centenas, anotamos el cero en el lugar de las decenas del resultado y recordamos las 5 centenas que no hemos escrito; por último multiplicamos las 6 unidades del segundo factor por las 2 centenas del primer factor 6 ´ 2 = 12, le agregamos las 5 centenas que no escribimos de la operación anterior, 12 + 5 = 17 y anotamos este resultado parcial en el resultado de la multiplicación con la última cifra en el lugar de las centenas.

Si queremos multiplicar dos números de dos cifras o más, por comodidad se acostumbra multiplicar el segundo factor por el primero. Se inicia multiplicando las unidades del segundo factor por todo el primer factor, luego las decenas del segundo factor por todo el primer factor, las centenas del segundo factor por todo el primer factor, etc. y se usa el procedimiento que se acaba de exponer arriba.

2   8  4
x              6
1  7   0  4

Por ejemplo, si se desea multiplicar 1234 por 567, primero se multiplican 7 unidades del segundo factor por 1234 y se anota el resultado utilizando los lugares necesarios desde las unidades; luego se multiplican las 6 decenas del segundo factor y se anota el resultado utilizando los lugares necesarios desde las decenas, luego se multiplican las 5 centenas del segundo factor por 1234 y se anota el resultado utilizando los lugares necesarios desde las centenas; por último se suman los tres números obtenidos para tener el resultado final.

1   2   3   4
x             5   6  7
8   6    3   8
7   4   0    4
6  1  7    0_______          
6  9  9    6   7   8

Un caso particular que conviene analizar es cuando el segundo  factor contiene ceros entre sus cifras. Veamos primero qué ocurre al multiplicar 534 por 20. Al multiplicar las 0 unidades del segundo factor por el primer factor obtenemos solamente ceros, y sólo aparecen otras cifras al multiplicar las 2 decenas del primer factor por 534. Así, no vale la pena realizar la multiplicación de las 0 unidades del primer factor, puesto que ya sabemos que va a dar sólo ceros. En lugar de eso se

5    3    4
x                    2    0
0     0    0
   1   0    6     8     .__
1   0    6     8     0

5    3    4
x                     2    0
   1   0    6     8     .__
1   0    6     8     0

acostumbra poner sólo un punto en el lugar que corresponde al del cero: como en este caso el cero está en las unidades, ponemos un punto ahí y proseguimos en ese mismo renglón con la multiplicación de la cifra de las decenas del segundo factor por el primero. Al hacer la suma final, el punto cuenta como un cero.

Analicemos ahora otro ejemplo: multipliquemos 412 por 708. Primero multiplicamos las 8 unidades del segundo factor por el primero, y obtenemos 3296 unidades, que colocamos con el 6 en el lugar de las unidades. Después seguiría el resultado de multiplicar las 0 decenas del segundo factor por el primero: nos darían 000 decenas. En vez de escribir ese renglón, colocamos un punto en el lugar de las decenas, donde iría el cero correspondiente a las decenas, y seguimos adelante con la multiplicación: 7 centenas del segundo factor por el primero dan 2884 centenas, que colocamos con el 4 en el lugar de las centenas, a la izquierda del punto que habíamos puesto. Al final sumamos como si el punto fuera un cero.

4    2    1
x         7    8    0
3   2    9    6
     2    8    8   4    ._
2   9    1    6   9   6