Variables no restringidas y soluciones básica

En la sección 2.3.3 definimos las variables no restringidas. después, en la sección 3.2.1, mos-tramos que, en la forma estándar, una variable no r estringida x₁ debe sustituirse en términos de dos variables no negativas como

x _j  = x ⁺_j  – x ^–_j , x ⁺_j , x ^–_j  ³ 0

Basándonos en la definición de soluciones básicas en la sección 3.2.2, es imposible que x’j y x, sean variables básicas simultáneamente, porque son dependientes. La dependencia proviene del hecho de que los coeficientes de restricción de xl son los negativos de los de xl . Esto significa que en cualquier solución básica, por lo menos una de las variables xj y x,^–debe ser no básica a nivel cero (vease el problema 3.2c-1).

Serie de problemas 3.2c 1.

Considere la siguiente PL:

Maximice z = 2x₁ + 3x₂+ 5x₃ sujeta a

-6x₁ + 7x₂ – 9x₃ ³ 4 x₁ + x₂ + 4x ₃ = 10 x₁, x ₃ ³ 0

x₂ no restringida

La conversión a la forma estándar implica utilizar la sustitución x₂ = x₂⁺ – x₂^– . Muestre que ninguna de las soluciones básicas del problema pued e incluir tanto x₂⁺ y x₂^– simultáneamente. 2. Considere la siguiente PL:

Maximice z = x₁ + 3x₂ sujeta a

x₁+x₂ £ 2

-x₁ + x₂  £ 4

x₁ no restringida x₂ ³ 0

(a)  Determine todas las soluciones básicas factible s del problema.
(b)  Utilice la sustitución directa en la función objetivo para determinar la mejor solución básica
(c)  Resuelva gráficamente el problema y verifique q ue la solución obtenida en (c) es la optima.

3. JoShop fabrica tres productos, cuyas utilidades por unidad son de 2,5 y 3 Mares, res-pectivamente. La compañía ha presupuestado 80 horas de tiempo de mano de obra y 65 horas de tiempo maquina para la fabricación de los tres productos.

Los requerimientos de mano de obra por unidad de los productos 1, 2 y 3 son de 2,1, y 2 horas, respectivamente. Los correspondientes requerimientos de tiempo maquina por unidad son de .1 y .5 horas. JoShop considera la mano de obra y las horas presupuestadas como metas que puede exceder, si es necesario, pero a un costo adicional de 15 dólares por hora de mano de obra y de 10 dólares por hora maquina. Las respectivas utilidades por unidad para los tres productos son 2,5 y 3 Mares.

(a)  Formule el problema como una PL y determine todas sus soluciones básicas factibles
(b)  Utilice los resultados en (a) para determinar la solución optima.

4. En unta PL en la que hay varias variables no restringidas, una transformación del tipo x _j = x ⁺_j – x ^–_j , x ⁺_j , x ^–_j ³ 0 duplicara el numero correspondiente de variables no negativas. En vez de ello, podemos reemplazar las variables k no restringidas exactamente con k + 1 variables no negativas, utilizando la sustitución x _j = x^,_j – w, x^,_j , w ³ 0 . Utilice TORA para mostrar que los dos métodos producen la misma solución para la siguiente PL:

Maximice z = 2x₁ + 3x₂ – 2x₃ sujeta a

4x₁ – x₂ – 5x₃ = 10 2x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 12

x₁  ³ 0, x₂ , x₃ no restringida

Fuente: Apuntes de Investigación de operaciones de la UNIDEG