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Forma estándar de PL

El empleo de las soluciones básicas para resolver el modelo general de PL requiere poner el problema en una forma estándar, cuyas propiedades son:

– Todas las restricciones (con excepción de las restricciones de no negatividad sobre las variables) son ecuaciones con un lado derecho no negativo.

– Todas las variables son no negativas.

– La función objetivo puede ser del tipo de maximización o de minimización.

1. Conversión de desigualdades a ecuaciones. Una desigualdad del tipo<=5 (se convierte a una ecuación aumentando su lado izquierdo con una variable de holgura (superávit) (vease la sección 2.3.3 para las definiciones de holguras y superávit).

Ejemplo de: restricción.

2x1 + 2x2  £ 3

es equivalente a x1 + 2x2 + s1 = 3

donde la holgura s1 >_ 0.

Ejemplo de  restricción.

3x1 + x2  ³ 5

es equivalente a

3x1 + x2  – s1  = 5

donde el superávit S 1 ? 0.

El lado derecho de una ecuación siempre se puede hacer no negativo, multiplicando 1, ecuación por -1, de ser necesario. También observamos que una desigualdad ( £ ) se convierte a ( ³ )multiplicando ambos lados por -1. Por ejemplo, 2 < 4 se convierte en -2 > -4 cuando multiplicamos ambos lados por -1.

2. Conversión de una variable no restringida a variables no negativas. Una variable x; no restringida se puede expresar en términos de dos variables no negativas, utilizando la sustitución

x j  = x +j  x j , x +j , x j

³ 0

Por  ejemplo, para xj

-5,  dejamos  que

x +j  = 0  yx j  = 5 .  Si  x;  =  +5,  entonces
tenemos x +j  = 5 y x j

= 0 . En ambos casos, x +j

y x j son no negativas, como se desea.

La sustitución se efectúa en todas las restricciones y en la función objetivo. Después de resolver el problema en términos de x +j y x j , el valor de la variable original se determina en. onces mediante una sustitución hacia atrás.

3. Conversión de maximización a minimización. La maximización de una función f (x1 , x2 ,K, xn ) es equivalente a la minimización de f (x1 , x2 ,K, xn ) , en el sentido de que ambos problemas producen los mismos valores óptimos de x1 , x2 ,K, y xn .

Fuente: Apuntes de Investigación de operaciones de la UNIDEG