Solución de un modelo de minimización

Ejemplo 2.3-2 (PROBLEMA DE LA DIETA).

Ozark Farms utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes composiciones:

Los requerimientos dietéticos diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. Ozark Farms desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimento.

Debido a que la mezcla de alimento consiste de maíz y semilla de soya, las variables de decisión del modelo se definen como

xl = libras de maíz en la mezcla diaria
x2 = libras de semilla de soya en la mezcla diaria

La función objetivo trata de minimizar el costo diario total (en dólares) de la mezcla de alimento y se expresa como

Minimice z = .3×1 + .9×2

Sujeto a:

                        x1 + x2 >= 800

                        0.09×1 + 0.6×2 >= 0.3(x1 + x2)

                        0.02×1 + 0.06×2 <= 0.05(x1 + x2)

                        x1, x2 >= 0

En una solución gráfica del modelo. A diferencia de las del modelo de Reddy Mikks (ejemplo 2.3-1), dos de las restricciones atraviesan el origen.

De las líneas rectas asociadas, necesitamos un punto adicional, que se obtiene asignándole a una de las variables un valor y después resolviendo la otra variable. Por ejemplo, xl = 200 daría .21 X 200 – .3×2 = 0, o x2 = 140. Esto significa que la línea recta .21×1 – .3×2 = 0 atraviesa (0, 0) y (200, 140). Observe también que la dirección de factibilidad para las dos restricciones que atraviesan el origen se pueden determinar utilizando un punto de referencia que no sea (0, 0); por ejemplo, es posible utilizar ya sea (100, 0) o (0,100) como un punto de referencia para la segunda y la tercera restricciones.

Debido a que este modelo busca la minimización de la función del objetivo, necesitamos reducir el valor de z tanto como sea posible en la dirección que muestra la flecha en la figura 2-3. La solución óptima es la intersección de las dos líneas xl + x2 = 800 y .21×1 – .3×2 = 0, que da x1 = 470.59 libras y x2 = 329.41 libras. El costo mínimo asociado de la mezcla de alimento es:

z = .3 X 470.59 + .9 x 329.42 = $437.65 por día.

Fuente: Apuntes de Investigación de operaciones de la UNIDEG