Solución de un modelo de maximización

Ejemplo 2.3-1.

Utilizamos el modelo de Reddy Mikks para ilustrar los dos pasos del procedimiento gráfico. Paso 1. Determinación del espacio de solución factible:

Primero, como se muestra en la figura 2-1, supongamos que el eje horizontal x1 y el eje vertical x2 representan las variables de la pintura para exteriores y de la pintura para interiores, respectivamente. Después, consideremos las restricciones de no negatividad x1 > 0 y x2 > 0. Estas dos restricciones limitan el área del espacio de solución al primer cuadrante (que se encuentra arriba del eje xl y a la derecha del eje x 2 ).

La forma más sencilla de explicar las cuatro restricciones restantes es reemplazar las desigualdades con ecuaciones y después trazar las líneas rectas resultantes. Por ejemplo, la desigual-dad 6×1 + 4×2 <_ 24 se reemplaza con la línea recta 6 x 1 + 4×2 = 2 4 . Para trazar esta línea, necesitamos dos puntos precisos, que se pueden obtener determinando primero xl = 0 para obtener x2 = = 6, y después determinando x2 = 0 para obtener xl = = 4. Por consiguiente, la línea pasa a través de los dos puntos (0,6) y (4,0), como lo muestra la línea (1) en la figura 2-1.

Después consideramos el efecto de la desigualdad. Todo lo que hace la desigualdad es dividir el plano (x l, x 2) en dos espacios (mitades) que ocurren en ambos lados de la línea trazada; un lado satisface la desigualdad y el otro no. Un procedimiento para determinar el lado factible es utilizar el origen (0,0) como un punto de referencia.

Por ejemplo, para la primera restricción, (0, 0) satisface 6×1 + 4x 2 < 24 (es decir, 6 x 0 + 4 x 0 = 0, que es menor de 24). Esto significa que el lado factible de la restricción 6×1 + 4×2 s 24 incluye el origen. Este resultado se muestra por la flecha direccional asociada con la restricción (1) en la figura 2-1.

En general, si el origen no satisface la desigualdad, entonces la flecha direccional debe apuntar en el lado opuesto de (0,0). Además, si sucede que la línea atraviesa el origen, entonces podemos elegir otro punto de referencia para efectuar el resultado deseado.

Paso 2 . Determinación de la solución óptima:

La figura 2.1 proporciona el espacio de solución factible que satisfacen todas las restricciones del modelo. Este espacio está delinea do por los segmentos de la línea que une a los puntos en las es-quinas A, B, C, D, E y F. Cualquier punto dentro o en el límite del espacio ABCDEF es un punto factible, en el sentido de que satisface todas las restricciones. Debido a que el espacio factible

ABCDEF consiste en un número infinito de puntos, necesitamos un procedimiento que identifique la solución óptima.

La determinación de la solución óptima requiere la identificación de la dirección en la cual incrementa la función de la utilidad z = 5×1 + 4×2 (recuerde que estamos maximizando z). Lo podemos hacer asignándole a z los valores ar bitrariamente crecientes de 10 y 15, que serían equivalentes a trazar las líneas 5×1 + 4×2 = 10 y 5×1 + 4×2 = 15. La figura 2-2 superpone estas dos líneas en el espacio de solución del modelo.

De esta manera, la utilidad z se incrementa en la dirección que se muestra en la figura, hasta que lleguemos al punto en el espacio de solución más allá del cual cualquier incremento adicional nos dejará fuera de los límite s de ABCDEF. Dicho punto es el óptimo.

En términos de la figura 2-2, el punto C da la solución óptima. De manera que los valores de x1 y x2 se determinan resolviendo las ecuaciones asociadas con las líneas (1) y (2); es decir,

6×1 + 4×2 = 24 x1 + 2×2 = 6

La solución produce xl = 3 y x2 = 1.5, con z = 5 X 3 + 4 x 1.5 = 21. Esto quiere decir que la mezcla óptima diaria del producto de 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 toneladas de pintura para interiores producirá una utilidad diaria de 21 000 dólares.

No es accidental que la solución óptima esté asociada con un punto de esquina del espacio de solución en donde se intersecan dos líneas. De hecho, si cambiamos la pendiente de la función de utilidad z (cambiando sus coeficientes), descubriremos que la solución óptima siempre está identificada por uno de estos puntos de esquina. Esta observación es la idea clave para el desarrollo del algoritmo símplex general.

4. Para el modelo (original) de Reddy Mikks, identifique el (los) punto(s) de esquina que determina(n) la solución óptima para cada una de las siguientes funciones del objetivo:

(a) z = 3×1 + x2.
(b) z = xl + 3×2.
(c) z = 6×1 + 4×2.

¿En qué difiere la solución en (c) de las correspondientes en (a) y (b)?

5. Jack es un estudiante emprendedor de primer año en la Universidad Ulern. Comprende que «sólo el trabajo y nada de diversión hacen de Jack un muchacho aburrido». Como resultado, Jack quiere distribuir su tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al día, entre el trabajo y la diversión. Calcula que el juego es dos veces más divertido que el trabajo. También quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Jack comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas al día. ¿Cómo debe distribuir Jack su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el trabajo como en el juego?

Fuente: Apuntes de Investigación de operaciones de la UNIDEG