Matriz de rotación
Una matriz de rotación 3 X 3 se puede definir como una matriz de transformación que opera sobre un vector de posición en un espacio euclídeo tridimensional y transforma sus coordenadas ligado al cuerpo a un sistema de coordenadas de referencia OXYZ. En la figura siguiente se dan dos sistemas de coordenadas rectangulares, uno el sistema de coordenada OXYZ; con OX, OY y OZ como sus ejes de coordenadas, y el sistema de coordenadas OUVW, con OU, OV, OW como sus ejes de coordenadas. En ambos sistemas de coordenadas tiene sus orígenes coincidentes en el punto O.
El sistema de coordenadas OXYZ esta fijo en el espacio tridimensional y se considera que es el sistema de referencia. El sistema de coordenadas OUVW esta girando con respecto al sistema de referencia OXYZ. Físicamente, se puede considerar que el sistema de coordenadas OUVW es un sistema de coordenadas ligado al cuerpo. Sean (ix, jy, kz) y (iu, jv, kw) los vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas de los sistemas OXYZ y OUVW, respectivamente. Un punto P en el espacio se puede representar por sus coordenadas con respecto a ambos sistemas de coordenadas. Supongamos que P esta en reposo y fijo con respecto al sistema de coordenadas OUVW.
Una matriz R de transformación 3 X 3 que transformará las coordenadas de Puvw a las coordenadas expresadas con respecto al sistema de coordenadas OXYZ, después de que el sistema de coordenadasOUVW ha sido girado. Esto es, Pxyz = RPuvw
De acuerdo a los componentes de un vector se tiene
Puvw = Puiu + Pvjv + Pwkw
Donde px, py y pz representan los componentes de P a lo largo de los ejes OX, OY y OZ, respectivamente, o las proyecciones de P sobre los ejes respectivos. Así utilizando la definición del producto escalar y la ecuación.
px = ix · P ix · iupu + ix · jvpv + ix · kwpw
py = jy · P jy · iupu + jy · jvpv + jy · kwpw
pz = kz · P kz · iupu + ky · jvpv + kz · kwpw
en forma matricial,
px ix · iu ix · jv ix · kw pu
py = jy · iu jy · jv jy · kz pv
pz kz · iu kz · jv kz · kw pw
Utilizando esta notación, la matriz R en la ecuación está dada por
ix · iu ix · jv ix · kw
R = jy · iu jy · jv jy · kz
kz · iu kz · jv kz · kw
Análogamente, se pueden obtener las coordenadas de Puvw con las coordenadas de Pxyz
Puvw = QPxyz Transformación ortogonal
pu ix · iu ix · jv ix · kw px
pv = jy · iu jy · jv jy · kz py
pw kz · iu kz · jv kz · kw pz
El interés primario en desarrollar la matriz de transformación anterior es encontrar las matrices de rotación que representan rotaciones del sistema de coordenadas OUVW respecto a cada uno de los tres ejes principales del sistema de coordenadas de referencia OXYZ. Si el sistema de coordenadas OUVW se gira un ángulo alfa respecto al eje OX para llegar a una nueva posición en el espacio entonces el punto Puvw, que tiene coordenadas (pu, pv, pw)T con respecto al sistema OUVW, tendrá coordenadas diferentes (px, py, pz)T con respecto al sistema de referencia OXYZ. La matriz de transformación necesaria Rx, ángulo alfa se llama la matriz de rotación respecto al OX con ángulo alfa Rx, ángulo alfa se puede derivar del concepto de matriz de transformación anterior, esto es, Rxyz = cx, alguno alfa Puvw
con ix = iu, y
ix · iu ix · jv ix · kw 1 0 0
Rx, ángulo alfa = jy · iu jy · jv jy · kz = 0 cos alfa -sen alfa
kz · iu kz · jv kz · kw 0 sen alfa cos alfa
Análogamente, las matrices de rotación 3 X 3 para rotaciones respecto al eje OY con ángulo Ø y respecto al eje OZ con ángulo teta son, respectivamente.
cos ø 0 sen ø
Ryø = 0 1 0
-sen ø 0 cos ø
cos teta – sen teta 0
Ry ángulo teta = sen teta cos teta 0
0 0 1
Las matrices Rx alfa, Ryø y Rz teta se llaman las matrices de rotación básicas.
