Los números primos

Hay números que solamente son divisibles entre uno y entre ellos mismos. Los números distintos de uno que sólo son divisibles entre uno y por ellos mismos se llaman números primos. Por ejemplo a 5 sólo lo dividen 1 y 5, es un número primo. De la misma manera, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. son números primos. Estos números son especialmente importantes porque con ellos se pueden construir todos los demás con multiplicaciones, por ejemplo como 6 = 2 ´ 3, 6 no es primo, pero 2 y 3 sí lo son. Siempre se puede escribir un número natural como producto de factores primos.

Para descomponer un número en factores primos lo dividimos consecutivamente entre los números primos. Por ejemplo, para descomponer 45 en factores primos tomamos el primer número primo, 2, vemos si 45 es divisible entre 2, como 45 es impar no es divisible entre 2; tomamos el siguiente número primo, 3, vemos si 45 es divisible entre 3, como 4 + 5 = 9, sabemos que sí es divisible entre 3 y lo dividimos: 45 ¸ 3 = 15; como 15 también es divisible entre 3, lo dividimos: 15 ¸ 3 = 5; como 5 ya sólo es divisible entre 5, lo dividimos: 5 ¸ 5 = 1, y ya terminamos. Hemos dividido 45 consecutivamente entre 3, entre 3 y entre 5, entonces 45 = 3 ´ 3 ´ 5.

Se acostumbra escribir estas divisiones consecutivas poniendo una raya vertical a la derecha del número, anotar a la derecha el divisor que usamos y bajo el número el cociente de cada división.

Cuando tenemos la descomposición en factores primos de un número podemos encontrar todos los divisores de ese número, combinando los factores primos en multiplicaciones de dos en dos, de tres en tres, etcétera. Por ejemplo, como 42 = 2 ´ 3 ´ 7, podemos saber que los divisores de 42, además de 2 y 5, son: 2 ´ 3 = 6, 2 ´ 7 = 14 y 3 ´ 7 = 21.

¿Cómo podemos saber cuándo un número es primo? Pongamos por ejemplo el número 97. No es divisible por los primeros tres primos: ni por 2, ni por 3, ni por 5. Si intentamos dividirlo entre 7 nos da 13 y un residuo de 6, entonces no es divisible por 7. El siguiente número primo es 11. Si intentamos dividir 97 entre 11, nos da 8 y un residuo de 9: tampoco es divisible por 11. Ya no vale la pena seguir intentando más divisores primos, porque aquí el cociente (8) ya es menor que el divisor (11), y eso seguiría pasando con los siguientes números primos. Podemos entonces concluir que 97 es un número primo.