Adición de vectores

Los vectores se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Así, la suma de dos vectores P y Q se obtiene fijando los dos vectores al mismo punto de aplicación A y construyendo un paralelogramo con P y Q corno dos lados contiguos del paralelogramo (figura 1.10). La diagonal que pasa por A representa la suma de los vectores P y Q, suma que se representa por P + Q. El hecho de que se emplee el signo + para representar tanto a la suma vectorial como la escalar no debe producir confusión si se distinguen siempre con cuidado las cantidades vectoriales y escalares. Debemos observar que, en general, la magnitud del vector P + Q no es igual a la suma P + Q de las magnitudes de los vectores P y Q.

Como el paralelogramo construido con los vectores P y Q no depende del orden en que se tomen P y Q, concluimos que la suma de dos vectores es conmutativa y escribimos

P + Q = Q  + P (1-15)

De la ley del paralelogramo se puede obtener un segundo método para determinar la suma de dos vectores. El método se conoce como la regla del triángulo y consiste en lo siguiente: Considerémos la figura 1.10, donde se ha obtenido la suma de los vectores P y Q por la ley del paralelogramo. Como el lado opuesto a Q es igual a Q en magnitud y dirección, podríamos dibujar solamente medio paralelogramo (figura 1.11a). Entonces, la suma de los vectores puede encontrarse colocando el origen de Q en el extremo de P, y luego uniendo el origen de P con el extremo de Q. En la figura 1.11 b, se considera la otra mitad del paralelogramo, obteniéndose el mismo resultado. Esta confirma que la suma de vectores es conmutativa.

La  sustracción  de  un  vector  se  define  como  la  adición del correspondiente vector negativo. Así, el vector P —   Q, que representa la diferencia entre los vectores P y Q, se obtiene su mando a P el vector negativo Q (figura 1.12). Escribimos

P – Q = P + (- Q) (1-16)

Aquí, nuevamente, debemos observar que se usa el mismo signo para representar la sustracción vectorial y escalar, pero se evitarán confusiones y errores si se cuida en distinguir las cantidades vectoriales y escalares.

Consideremos ahora la suma de tres o más vectores. La suma de tres vectores P, Q y S se obtendrá, por definición, sumando primero los vectores P y Q y luego el vector S, al vector P + Q. Escribimos entonces

P + Q + S = (P + Q) + S (1-17)

En forma similar se obtendrá la suma de cuatro vectores sumando el cuarto vector a la suma de los tres primeros. Se puede concluir que la suma de cualquier número de vectores puede obtenerse aplicando consecutivamente la ley del paralelogramo a pares sucesivos de vectores, hasta que todos los vectores dados se remplacen por un solo vector.

Si los vectores son coplanarios, esto es, si están contenidos en el mismo plano, la suma puede obtenerse muy fácilmente con un método gráfico. En este caso se prefiere la aplicación consecutiva de la regla del triángulo a la ley del paralelogramo. De esta manera se obtiene en la figura 1.13 la suma de los tres vectores P, Q y S. En primer lugar, se aplica la regla del triángulo para obtener la suma P + Q de los vectores P y Q; se aplica nuevamente la regla del triángulo para obtener la suma de los vectores P + Q y S. Sin embargo, puede omitirse la determinación del vector P + Q y la suma de los tres vectores puede obtenerse directamente, como se indica en la figura 1.14, colocando sucesivamente el origen de uno de los vectores en el extremo del otro y finalmente uniendo el origen del primero con el extremo del último. Esta es laregla del polígono para la suma de vectores.

Observamos que el resultado es invariable si, como se indica en la figura 1.15, los vectores Q y S se hubieran remplazado por su suma Q + S. Podemos entonces escribir

P + Q + S = (P + Q) + S = P + (Q + S) (1-18)

ecuación que expresa el hecho de que la adición de vectores es asociativa. Recordando que se ha demostrado, para el caso de dos vectores, que la adición es conmutativa, escribimos

P + Q + S = (P + Q) + S = P + (Q + S)
= S + (Q + P) = S + Q + P (1-19)

Esta expresión, como otras que pueden obtenerse en forma análoga, indican que no importa el orden en que se sumen varios vectores (figura 1.16).

Producto de un escalar por un vector. Es conveniente expresarla suma P + Pcomo 2P, la suma P + P + P como 3P y, en general, representar la suma de n vectores iguales P por el producto nP. Definiremos el producto nP de un entero positivo n y un vector P como un vector que tiene la misma dirección de P y la magnitud nP. Extendiendo esta definición para que incluya todo s los escalares y recordando la definición de un vector negativo, definimos el producto kP de un escalar y un vector P como un vector que tiene la misma dirección de P (si k es positivo), o dirección opuesta a la de P (si k es negativo) y la magnitud igual al producto de P con el valor absoluto de k (figura 1.17)