Cálculo mental procedimiento

El cálculo mental consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando sólo el cerebro, sin ayudas de otros instrumentos como calculadoras o incluso lápiz y papel o dedos para contar fácilmente tambien se puede considerar calculo mental al uso de tu cerebro y cuerpo. Algunos calculistas pueden realizar operaciones matemáticas muy complejas mediante el cálculo mental.

Para su enseñanza es aconsejable permitir el descubrimiento de reglas y la selección de estrategias. Aquí se presentan algunas formas de entrenar el cálculo mental.

Sumas y restas

Si no hay acarreos, es decir, si ninguna suma parcial es mayor que 9, las sumas se pueden realizar directamente. Lo mismo ocurre con las restas.

En caso contrario, hay que saber modelar los números de los que se dispone, a veces convirtiendo una suma de dos números en una suma más sencilla de más sumandos, y algo análogo para las restas. Calculistas como Alberto Coto proponen realizar las sumas siempre de izquierda a derecha, aunque haya acarreos.

Ejemplos:

– Calcular 456 + 155:

456 + 155 = 461 + 150 = 511 + 100 = 611 (método tradicional, sumando de derecha a izquierda)
456 + 155 = 456 + 4 + 151 = 460 + 40 + 111 = 500 + 111 = 611 (llevando el primer sumando a la decena superior, a la centena superior… para acabar realizando una suma más sencilla equivalente a la primera)
456 + 155 = 556 + 55 = 606 + 5 = 611 (sumando de izquierda a derecha)

– Calcular 876 – 98:

876 – 98 = 868 – 90 = 778 (método tradicional, de derecha a izquierda)
876 – 98 = 876 – (100 – 2) = 876 – 100 + 2 = 776 + 2 = 778 (valiéndose de la proximidad del sustraendo (98) a uno que facilita la resta (100))
876 – 98 = 786 – 8 = 778 (restando de izquierda a derecha)

– Calcular 634 – 256:

634 – 256 = 434 – 56 = 384 – 6 = 378 (de izquierda a derecha)

Duplicación y mediación

Multiplicar por 2 es lo mismo que sumarle al número inicial el mismo número. La duplicación y la mediación son un pilar fundamental de las matemáticas egipcias.

Ejemplo: multiplicar 173 × 16:
Esto se puede hacer por duplicaciones sucesivas: 173 × 16 = 346 × 8 = 692 × 4 = 1384 × 2 = 2768.

La multiplicación y la mediación sirven, en general, para calcular el producto de un número cualquiera por el producto de potencias de 2 y de 5. Multiplicar por 5 es lo mismo que calcular la mitad del número inicial multiplicado por 10, lo que a veces es más fácil de hallar.

Ejemplo: multiplicar 376 × 125

Como 125 = 5³ = 10³/2³, se puede hallar la solución añadiendo los tres ceros correspondientes y dividiendo el resultado tres veces por 2.
376 × 125 = 376000/8 = 188000/4 = 94000/2 = 47000.
324 x 125 = 324000/8 = 162000/4 = 81000/2 = 40500.

Es útil conocer algunas potencias de 2 y 5 para realizar estas operaciones con soltura.

También se puede utilizar este método para multiplicar por otros números que son sumas de (pocas) potencias de 2 o de 5, como 12 (8 + 4), 130 (125 + 5), 18 (16 + 2), etc.

Multiplicación por números cercanos a las potencias de 10

Multiplicar por 9, 11, 99, 101…, es decir, por una potencia de 10 menos 1, se puede hacer mentalmente con un poco de práctica mediante la suma (o resta) de 10n veces el número inicial más (o resta) del número inicial. Sin embargo, es fácil cometer errores al sumar o restar al mezclar, por ejemplo, unidades con decenas.

Ejemplo: multiplicar 28 × 99
28 × 99 = 28 × (100 – 1) = 2800 – 28 = 2772

Otro ejemplo: multiplicar 37 × 121

121 es el cuadrado de 11, así que lo que se pide es lo mismo que multiplicar 37 por 11 y el resultado de nuevo por 11: 37 × 121 = 37 ×(10 + 1) × 11 = (370 + 37) × 11 = 407 × 11 = 4477

Además multiplicar por 11 resulta fácil: se separan las cifras y luego se escribe siempre cifra de las unidades y seguidamente se van sumando grupos de dos cifras seguidas poniendo el resultado o la última cifra de la suma llevando un acarreo de 1 si la suma es mayor que 10, y finalmente se coloca la cifra más significativa, así:

Multiplicar

12345 × 11 : 1° las unid 5, 5+4=9, 4+3=7, 3+2=5,2+1=3, y finalmente 1; ahora colocar en orden inverso : 135795

8946 × 11 : 1° las unid 6, 6+4=10 (0 y lleva 1), 4+9+1(acarreo)=14 (4 y lleva 1), 9+8+1(acarreo)=18 (8 y lleva 1), y finalmente 8+1(acarreo)=9; ahora colocar en orden inverso : 98406
Análogamente, se puede aplicar esto a las multiplicaciones por potencias de 2, o de 5, más 1. Por ejemplo, 26, 17, 124 y 63.

Multiplicación por 37

Primero, basta recordar lo siguiente:

37 × 3 = 111
37 × 27 = (37 × 3) × 9 = 999 = 1000 – 1
El procedimiento es este:

Se divide el otro factor entre 3. Hay que recordar el cociente y el resto. Si el resto es 1, al resultado final habrá que sumar 37; si es 2, habrá que sumar 74.

Ejemplo: en 37 × 94, se toma 94 : 3 = 31, resto 1. Ahora el producto es 111 × 31.

Se divide el cociente del paso anterior entre 9. El cociente se multiplica por 999 (= 1000 – 1) y el resto por 111.

En el ejemplo anterior, 31 : 9 = 3, resto 4. Ahora tenemos la suma de dos productos: 999 × 3 (= 2997, o, si se prefiere, 3000 – 3) y 111 × 4 = 444. Como el resto del primer cociente que hicimos era 1, al resultado habrá que sumar 37.

Se suma todo.

3000 – 3 + 444 + 37 = 3000 + 444 + 37 – 3 (a menudo es más fácil organizar los términos de esta forma, dejando el número que se resta al final) = 3444 + 34 = 3478.

Una variante es tomar por exceso y no por defecto el cociente de la división del primer paso. Esto significa que se suma uno al cociente y al resto se le restan 3. Así, en lugar de un número de la forma 3 × Q + R (donde R = 1 ó 2) tenemos uno de la forma 3 × (Q + 1) + R’ (donde R’ = -2 ó -1, respectivamente), y al resultado final se le restará 74 o 37 (porque el nuevo «resto» de la división es negativo).

Más ejemplos:

37 × 54 = 111 × 18 = 999 × 2 = 2000 – 2 = 1998
37 × 79 (método usual) = 111 × 26 + 37 = 999 × 2 + 111 × 8 + 37 = 2000 – 2 + 888 + 37 = 2925 – 2 = 2923
37 × 79 (variante) = 111 × 27 – 74 = 999 × 3 – 74 = 3000 – 3 – 74 = 3000 – 77 = 2923

Como se puede comprobar, en este caso la variante es más fácil, aunque no tiene por qué ser siempre así. En general, si el factor es uno o dos menos que un múltiplo de 27 (recordar que 37 × 27Q = 999Q), es más sencillo ir a por ese múltiplo de 27.

Si uno de los factores del producto no es 37 pero sí un múltiplo, se puede reformular la multiplicación haciendo que uno de los factores sea 37. Probemos por ejemplo con los siguientes cuadrados:

74 × 74 = 37 × 2 × 74 = 37 × 148 = 111 × 49 + 37 = 999 × 5 + 111 × 4 + 37 = 5000 – 5 + 444 + 37 = 5444 + 32 = 5476
111 × 111 = 37 × 3 × 111 = 37 × 333 = 999 × 12 + 333 = 12000 – 12 + 333 = 12321 (en este caso, como ya teníamos el 333, el procedimiento era más sencillo)
148 × 148 = 37 × 4 × 148 = 37 × 592 = 111 × 198 – 74 (en este caso se vuelve a emplear la variante porque 594 es múltiplo de 27) = 999 × 22 – 74 = 22000 – 22 – 74 = 21904

Métodos así funcionan cuando uno de los factores de la multiplicación tiene a su vez un múltiplo que es una concatenación de nueves. Se trata pues de encontrar ese múltiplo. Otro ejemplo notable es el número 142857. No sólo el producto de este número por 7 es igual a 999999, sino que su tabla de multiplicar es muy sencilla, ya que en la cadena 142857142857… basta con tomar seis dígitos consecutivos a partir de una posición dada:

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

Probemos a calcular el cuadrado de este número de seis cifras (!):

142857 × 142857 = (142857 × 7) × (142857 : 7) = 999999 × 20408 + 142857 (Como el resto de 142857 : 7 da 1, al resultado de la multiplicación hay que sumarle 142857. Es lo mismo que se hacía en la multiplicación por 37) = (1.000.000 – 1) × 20.408 + 128.857 = 20.408.000.000 – 20.408 + 142857 = 20.408.000.000 + 122.449 = 20.408.122.449