Razón de poisson
Cuando una barra prismática se somete a tensión, el alargamiento axial va acompañado de una contracción lateral (o sea, una contracción normal a la dirección de la carga aplicada).
Este cambio en la forma se ilustra en la figura 2.12, donde a) muestra la barra antes de ser cargada y b) después de la aplicación de la carga. En la parte b), las líneas de rayas representan la forma de la barra antes de la carga.
La contracción lateral se advierte con facilidad estirando una liga elástica; pero en los metales, los cambios en las dimensiones laterales (en la región elástica lineal) suelen ser muy pequeños para detectarlos a simple vista, por lo cual se usan dispositivos sensitivos de medición.
La deformación unitaria lateral en cualquier punto de una barra es proporcional a la deformación unitaria axial en el mismo punto si el material es elástico lineal. Ahora bien, para que las deformaciones unitarias laterales sean las mismas en toda la barra, deben cumplirse condiciones adicionales.
Primero, la fuerza axial debe ser constante en toda la longitud de la barra, de manera que la deformación unitaria axial también sea constante. Segundo, el material debe ser homogéneo, es decir, ha de tener la misma composición (y, por lo tanto, las mismas propiedades elásticas) en cada punto.
Ya supusimos que el material es homogéneo, por lo que el esfuerzo y la deformación unitaria serán uniformes en toda la barra. Es importante advertir que la homogeneidad de un material no asegura que las propiedades elásticas sean las mismas en toda dirección —por ejemplo, el módulo de elasticidad podría ser diferente en las direcciones axial y lateral—; por consiguiente, una tercera condición para la uniformidad de las deformaciones unitarias laterales es que las propiedades elásticas sean las mismas en todas las direcciones perpendiculares al eje longitudinal.
Los materiales isótropos u ortotrópicos satisfacen esta condición. Cuando se cumplen las tres condiciones, como es con frecuencia el caso, las deformaciones unitarias laterales en una barra sometida a tensión uniforme, serán las mismas en cada punto de la barra y en todas las direcciones laterales.
Se dice que los materiales que tienen las mismas propiedades en todas direcciones (axial, lateral e intermedias) son isótropos. Si las propiedades difieren en varias direcciones, el material es anisótropo (o aeolotrópico).
Un caso especial de anisotropía ocurre cuando las propiedades en una dirección particular son las mismas en todo el material y las propiedades en todas las direcciones perpendiculares a esa dirección son las mismas (pero diferentes de las primeras propiedades); el material se clasifica entonces como ortotrópico.
Los plásticos reforzados con fibras y el concreto reforzado con barras paralelas de acero son ejemplos de materiales compuestos que exhiben comportamiento ortotrópico.
La razón de la deformación unitaria lateral e‘ a la deformación unitaria axial E´ como razón de Poisson y se denota con la letra griega v(nu); entonces,
Para una barra en tensión, la deformación unitariaaxial es positiva y la deformación unitaria lateral es negativa (porque el ancho de la barra decrece). Para compresión tenemos la situación opuesta; la barra se acorta (deformación unitaria axial negativa) y se ensancha (deformación unitaria lateral positiva); por lo tanto, para materiales ordinarios la razón de Poisson siempre tiene un valor positivo.
Nota: al usar las ecuaciones anteriores, siempre debemos recordar que sólo se aplican a una barra en estado de esfuerzo uniaxial, esto es, a una barra en que el único esfuerzo es el esfuerzo norma lo- en la dirección axial.
La razón de Poisson recibe este nombre en honor del famoso matemático francés Siméon Denis Poisson (1781-1840), quien intentó calcular esta razón por medio de una teoría molecular de los materiales. Para materiales isótropos, Poisson encontró v = 1/4.
Ciertos cálculos más recientes basados en mejores modelos de la estructura atómica dan v =1/3. Ambos valores son cercanos a los valores medidos, que varían entre 0.25 y 0.35 para la mayoría de los metales y muchos otros materiales. Los materiales con un valor extremadamente bajo de la razón de Poisson incluyen al corcho, para el cual v casi es cero y el concreto, para el cual v varía entre 0.1 y 0.2.
Un límite teórico superior para la razón de Poisson es 0.5, como se explica en la siguiente subsección sobre cambios volumétricos. El hule se acerca a este valor límite.
En el apéndice H se da una tabla de razones de Poisson para varios materiales en el rango elástico lineal. Para la mayoría de los fines, se supone que la razón de Poisson tiene el mismo valor en tensión y en compresión.
Cuando las deformaciones unitarias en un material alcanzan valores grandes, la razón de Poisson cambia de valor, por ejemplo, en el caso del acero estructural la razón es de casi 0.5 cuando ocurre la fluencia plástica.
La razón de Poisson permanece constante sólo en el intervalo elástico lineal. Desde un punto de vista más general, la razón comparación con la E y pueden cancelarse en la expresión. El volumen final es entonces:
La cantidad e se conoce también como expansión.
Las ecuaciones anteriores para los cambios de volumen también pueden usarse para compresión, en cuyo caso la deformación unitaria axial e es negativa y el volumen de la barra decrece.
De la ecuación para la expansión, vemos que el valor máximo posible de la razón de Poisson para materiales ordinarios es de 0.5, porque cualquier valor mayor significa que la expansión e resulta negativa y que el volumen decrece cuando el material está en tensión, lo que físicamente parece improbable.
Como ya se señaló, para la mayoría de los materiales v es igual a 1/4 o 1/3 en la región elástica lineal, lo que significa que el cambio en el volumen unitario está en el intervalo de E/3 a E/2.
El siguiente ejemplo ilustra el cálculo de cambios dimensionales en una barra prismática.
Fuente: Apuntes de Resistencia de Materiales de la Unideg
