Deformaciones unitarias de una viga

Las deformaciones unitarias en una viga pueden encontrarse analizando la curvatura de la viga y las deformaciones asociadas.

Para este fin, consideremos una porción ab de una viga en flexión pura sometida a momentos flexionantes positivos M.

Suponemos que la viga tiene inicialmente un eje longitudinal recto (el eje x en la figura) y que su sección transversal es simétrica respecto al eje y.

Debido a la acción de momentos flexionantes, la viga se flexiona en el plano xy (plano de flexión) y su eje longitudinal toma una forma circular.

La viga se flexiona con la concavidad hacia arriba, que corresponde a una curvatura positiva. Las secciones transversales de la viga, como las secciones mn y pq, permanecen planas y normales al eje longitudinal.

El hecho de que las secciones transversales de una viga en flexión pura permanecen planas es tan fundamental para la teoría de vigas que a menudo se considera como una hipótesis; sin embargo, podríamos llamarlo también un teorema, porque puede demostrarse de modo rigurosa usando sólo argumentos racionales basados en la simetría.

El punto básico es que la simetría de la viga y su carga significa que todos los elementos de la viga (como el elemento mpqn) deben deformarse de manera idéntica, lo que es posible sólo si las secciones transversales permanecen planas durante la flexión.

Esta conclusión es válida para vigas de cualquier material, sea elástico o inelástico, lineal o no lineal. Por supuesto, las propiedades del material y sus dimensiones deben ser simétricas respecto al plano de flexión.

Nota: aun cuando una sección transversal plana en flexión pura permanece plana, habrá deformaciones en el plano mismo. Tales deformaciones se deben a los efectos de la razón de Poisson.

Debido a las deformaciones por flexión mostradas, las secciones transversales mn y pq giran respecto de sí mismos sobre ejes perpendiculares al plano xy.

Las líneas longitudinales sobre la parte convexa (inferior) de la viga se alargan, mientras que las del lado cóncavo (superior) se acortan. La parte inferior de la viga está en tensión y la superior en compresión.

En alguna parte entre la parte superior e inferior de la viga existe una superficie en que las líneas longitudinales no cambian de longitud.

Esta superficie, indicada por la línea punteada ss y c, se llama superficie neutra de la viga. Su intersección con cualquier plano transversal se llama eje neutro de la sección transversal; por ejemplo, el eje z es el eje neutro de la sección transversal.

Los planos que contienen las secciones transversales mn y pq en la viga deformada se intersecan en una línea que pasa por el centro de curvatura 0′.

El ángulo entre estos planos se denota con d0 y la distancia de 0′ a la superficie neutra ss es el radio de curvatura p.

La distancia inicial dx entre los dos planos no cambia en la superficie neutra, por lo que pd0 = dx. Sin embargo, el resto de las líneas longitudinales entre los dos planos se alarga o se acorta, con lo cual se generan deformaciones unitarias normales.

Para evaluar estas deformaciones unitarias normales, consideremos una línea longitudinal característica ef localizada dentro de la viga entre los planos mn y pq. Identificamos la línea ef por su distancia y desde la superficie neutra en la viga inicialmente recta.

Estamos suponiendo ahora que el eje x se encuentra a lo largo de la superficie neutra de la viga no deformada.

Por supuesto, cuando la viga se flexiona, la superficie neutra se mueve con la viga pero el eje x permanece fijo en posición.

Sin embargo, la línea longitudinal ef en la viga flexionada permanece a la misma distancia y desde la superficie neutra.

La longitud L1 de la línea ef después de que tiene lugar la flexión es:

en donde hemos sustituido d0 = dx/p. Puesto que la longitud original de la línea ef es dx, se infiere que su alargamiento es L1- dx, o -y dx/p. La deformación unitaria longitudinal correspondiente es igual al alargamiento dividido entre la longitud inicial dx, por tanto:

donde K es la curvatura.

La ecuación anterior muestra que las deformaciones unitarias longitudinales en la viga son proporcionales a la curvatura y varían linealmente con la distancia y desde la superficie neutra.

Cuando el punto en consideración está arriba de la superficie neutra, la distancia y es positiva. Si la curvatura también es positiva, entonces será una deformación unitaria negativa y representará un acortamiento. Por el contrario, si el punto en consideración está abajo de la superficie neutra, la distancia y será negativa y, si la curvatura es positiva, la deformación unitaria también será positiva y representará un alargamiento.

Nótese que la convención de signos para es la misma que para las deformaciones unitarias normales —es decir, los alargamientos son positivos y los acortamientos son negativos.

La ecuación para las deformaciones unitarias normales en una viga se obtuvo sólo a partir de la geometría de la viga deformada; las propiedades del material no entraron en la deducción.

Así pues, las deformaciones unitarias en una viga en flexión pura varían linealmente con la distancia desde la superficie neutra, sin importar la forma de la curva esfuerzo-deformación unitaria del material.

El siguiente paso en nuestro análisis —es decir, encontrar los esfuerzos a partir de las deformaciones unitarias—, requiere el uso de la curva esfuerzo-deformación unitaria.

Las deformaciones unitarias longitudinales en una viga van acompañadas por deformaciones unitarias transversales –o sea, deformaciones unitarias normales en las direcciones y y z— debido a los efectos de la razón de Poisson; sin embargo, no se tienen esfuerzos transversales acompañantes porque las vigas tienen libertad para deformarse en sentido lateral.

Esta condición de esfuerzo es análoga a la de una barra prismática en tensión o compresión y, por lo tanto, los elementos longitudinales en una viga en flexión pura están en un estado de esfuerzo uniaxial.

Fuente: Apuntes de Resistencia de Materiales de la Unideg