Fórmula de Euler para columnas

La base de la teoría de las columnas es la fórmula de Euler, que fue publicada en 1757 por Leonardo Euler, un matemático sumo. La fórmula de Euler, que solamente es válida para columnas largas calcula lo que se conoce como la carga crítica de pandeo.

Esta es la carga última que puede ser soportada por columnas largas; es decir, la carga presente en el instante del colapso.

Consideremos una columna soportada en sus dos extremos por angulaciones y sometida a una carga axial P. Supongamos que esta columna inicialmente es recta homogénea, y de sección transversal constan toda su longitud.

También debe suponerse que el material de esta hecha la columna se comporta elásticamente. Es decir, se aplica la ley de Hooke y los esfuerzos son inferiores al límite de proporcionalidad del material.

Cuando se intenta determinar la carga de pandeo de una columna debe uno darse cuenta que una columna cargada con la carga crítica de pandeo puede tener dos posiciones de equilibrio. Una de estas es la posición recta y la otra es una posición ligeramente deformada, como se indica en la Fig. 3.11 (a).

Consideremos por ejemplo, la barra mostrada en la Fig. 3.11 (a ponga que la carga axial P parte de un valor bajo y se incrementa gradualmente de magnitud. Si se aplica una pequeña fuerza lateralmente la barra se deformará lateralmente una pequeña cantidad. Si se quita Q la barra regresará a su configuración recta. Sin embargo, la barra deformada no regresará a su posición recta cuando la carga axial P sea de un valor particular, llamado la carga crítica de pandeo. Cuando se aplica esa carga crítica, la barra se deformará debido a la pequeña carga lateral Q, pero conservará la posición deformada cuando se quita Q. En la condición de la barra puede describirse como equilibrio neutro. Si en la condición de equilibrio neutro, la carga axial se reduce ligeramente, la barra regresará a su posición recta. Si la carga axial se incrementa ligeramente, la barra sufrirá el colapso. Se llama carga crítica de pandeos a aquella a la cual corresponde el equilibrio neutro.

Se obtiene la carga crítica de pandeo para una columna, considerando a la barra en la configuración flexionada de equilibrio neutro. La Fig. 3.11 (b) muestra un diagrama de cuerpo libre de la barra en esa situación. El momento flexionante es:

∑M corte = 0 : M = -Py.

Se usa el signo menos debido a los ejes coordenados elegidos. Estos ejes y por consiguiente, el signo menos para el momento flexionante se eligen para simplificar la solución matemática del problema. Pueden elegirse otros ejes, pero la expresión matemática para la solución no sería tan fácil para su análisis.

Definimos la ecuación de la curva de elasticidad de la viga como:

Resolviendo esta ecuación diferencial obtenemos

y = A cos kx + B sen kx

1.y = 0 en x = 0
2.y = 0 en x = L

Usando estas condiciones con la ecuación (b), tenemos:

1.0 = A cos 0 +B sen 0
0 = A (1) + B (0)
A = 0
y
2. 0 = B sen kL (c)

Para satisfacer la ec. (e), B debe ser cero o sen k L debe ser cero. Si B=0, no hay problema (o solución). Por consiguiente B debe tener algún valor finito, aunque pueda ser indeterminado. Dividiendo ambos miembros de la ec. (e) por B se llega a que sen k L = 0 .

Esta ecuación se describe como un valor característico o una ecuación de valor característico. Las soluciones son:

El término n describe los modos de pandeo. Algunas soluciones se indican en la Fig. 3.12 Para la mayoría de los casos prácticos el primer modo de pandeo (n = 1) producirá la falla, y a menos que se encuentren características especiales de construcción, el pandeo ocurrirá en:

Debe notarse que en la deducción se usa la expresión Por consiguiente, cualesquiera suposiciones hechas en las deducciones de

Fuente: Apuntes de Resistencia de Materiales de la Unideg