Distribución binomial

Consideremos un experimento con sólo dos resultados, uno que se llame éxito (S) y otro fracaso (F). Los resultados sucesivos e independientes de tal experimento se llaman experimentos o pruebas de Bernoulli, en honor al matemático suizo Jakob Bernoulli (1654-1705). (Resaltamos el hecho de que el término «experimentos independientes» significan que el resultado de cualquier experimento no depende de los resultados anteriores, como por ejemplo «tirar una moneda».)

Sea p la probabilidad de que salga éxito en un experimento de Bernoulli, y así q = 1 – p será la probabilidad de que salga fracaso. Un experimento binomial se compone de un número fijo de experimentos de Bernoulli. La notación

B(n, p)

se usará para indicar un experimento binomial con n pruebas y una probabilidad p de que salga éxito.

Con frecuencia, estaremos interesados en el número de éxitos de un experimento binomial y no en el orden en que ocurren. Se puede aplicar el siguiente teorema que se demostrará en el Ejemplo 8.

Teorema 4.3. La probabilidad de que salgan exactamente k éxitos en un experimento binomial B(n, p) viene dada por:

Observemos que la probabilidad de obtener al menos k éxitos, es decir, k o más éxitos, viene dada por

Esto se obtiene del hecho de que los sucesos de obtener k y k’ éxitos, son disjuntos para k ≠ k’

(a) Se tira una moneda 6 veces; decimos que cara es un éxito. Este es un experimento binomial con n = 6 y p =  q = 1/2.

(i) La probabilidad de que salgan exactamente dos caras (es decir, k = 2) es:

(ii) La probabilidad de que al menos salgan cuatro caras (es decir, k = 4, 5 o 6) es:

(iii) La probabilidad de que no salga cara (es decir, que todos sean fracasos)

Fuente: Apuntes de Probabilidad y Estadística de la UNIDEG