Variables aleatorias continuas

Supongamos que X es una variable aleatoria de un espacio muestral S cuyo espacio de valores RX es una sucesión de números, como un intervalo. Recordemos de la definición de variable aleatoria que el conjunto { a ≤ X ≤ b } es un suceso de S y que la probabilidad P( a ≤ X ≤ b ) está bien definida. Asumimos que hay una función continua a intervalos f: R →R, tal que P( a ≤ X ≤ b ) es igual al área bajo el gráfico de f entre x = a y x = b, como se muestra en la Figura 4.1. En forma matemática

En este caso, se dice que X es una variable aleatoria continua. La función f se llama distribución o función de probabilidad continua (o función de densidad) de X; cumple las condiciones

Es decir, f es no negativa y el área total bajo su gráfico es 1.

La esperanza E(X) de una variable aleatoria continua X se define por

cuando existe. Las funciones de variables aleatorias se definen como en el caso discreto; se puede demostrar que si Y = Φ ( X ) . Entonces

cuando existe la parte de la derecha. La varianza Var(X) se define por

cuando existe. Como en el caso discreto se puede demostrar que la Var(X) existe sí y sólo si µ =  E( X ) y E( X 2 ) existen, y entonces

Ya hemos dicho que estableceremos muchos resultados para variables aleatorias finitas y daremos por sentado que se cumplen para el caso discreto y el continuo.

Fuente: Apuntes de Probabilidad y Estadística de la UNIDEG