Variables aleatorias

Sea S el espacio muestral de un experimento. Frecuentemente, deseamos asignar un número específico a cada resultado del experimento, por ejemplo, la suma de los números de una tirada de un par de dados, el número de ases en una mano de una partida de bridge, o el tiempo (en horas) que tarda una bombilla en fundirse. A tales asignaciones de valores numéricos se les llama variable aleatoria.

Definición. Una variable aleatoria de un espacio muestral S es la regla que asigna un valor numérico a cada resultado de S, o en otras palabras, una función de S en el conjunto R de números reales.

Observación. Si S es incontable, entonces las funciones de valores reales de S no son variables aleatorias. Concretamente, X es una variable aleatoria si la preimagen de cada intervalo de R es un suceso de S. Por otra parte, si S es un espacio muestral en el que cada subconjunto es un suceso, entonces cada función de valores reales de S será una variable aleatoria.

La notación RX se usará para indicar el conjunto de números asigna dos por una variable aleatoria X, y nos referiremos a RX como el espacio de los valores. En este capítulo trataremos principalmente las variables aleatorias discretas, donde RX es finito o contable. Las variables aleatorias continuas,

donde el espacio de los valores es una sucesión de números, como un intervalo o una unión de intervalos, y que algunas veces requiere cálculos, se tratarán al final del capítulo.

(a) Se tira una moneda tres veces y se observa la sucesión de caras y cruces. El espacio muestral S se compone de los 8 siguientes elementos:

S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

Sea X la asignación a cada punto de S del mayor número de caras sucesivas que van saliendo. Así,

(b) Se tira un par de dados. El espacio muestral S se compone de 36 pares ordenados (a ,b) donde número entero entre 1 y 6, es decir:

(representado en la Fig. 3.3) a y b pueden ser cualquier

S = {(1,1), (1, 2), …, (6,6)}

Sea X asignar a cada punto (a, b) de S el mayor de los números, es decir, X(a, b) = máx ( a, b). Por ejemplo,

X(1, 1) = 1, X(2, 3) = 3, X(4, 4) = 4, X(6, 5) = 6, X(6, 6) = 6

Entonces X es una variable aleatoria y cada número entre 1 y 6 puede salir. Así,

RX = {1,2,3,4,5,6}

Ahora sea Y asignar a cada punto (a , b ) de S la suma de los números, es decir, Y (a , b ) = a + b. Por ejemplo,

Y(1, l) = 2, Y(2, 3) = 5, Y(4, 4) = 8, Y(6, 5) = 11, Y(6, 6) = 12

Entonces Y es una variable aleatoria con un espacio de valores

Ry = {2,3,…,12}

Es decir, ninguna suma puede ser inferior a 2 ni superior a 12.

Fuente: Apuntes de Probabilidad y Estadística de la UNIDEG