Teorema de Bayes

Supongamos que los sucesos A1 , A2 ,…An forman una partición del espacio muestral S, y que E es cualquier suceso. Entonces, para k = 1,2,…, n, el teorema de la multiplicación para la probabilidacondicionada nos dice que P( Ak IE) = P( Ak )P(E | Ak ). Por tanto,

Usando la ley de la probabilidad total (Teorema 3.13) para el denominador P(E), llegamos al siguiente teorema.

Teorema 3.14. (Fórmula de Bayes). Sea E un suceso de un espacio muestral S, y sean A1 , A2 ,…An sucesos disjuntos cuya unión es S. Entonces, para k = 1,2,…, n,

La anterior ecuación se llama la regla de Bayes o la fórmula de Bayes, por el matemático Inglés Thomas Bayes (1702-1761). Si pensamos en los sucesos A1 , A2 ,…An como causas posibles del suceso E, entonces la fórmula de Bayes nos permite determinar la probabilidad de que una de las A en particular ocurra, siempre que E haya ocurrido.

Consideremos la fábrica del ejemplo anterior. Supongamos que entre los resultados encontramos un producto defectuoso. Hallar la probabilidad de que haya sido fabricado por cada una de las máquinas, e s decir hallar
P(X|D),P(Y|D),P(Z|D).

Observar que P(D)  P( X )P(D | X )  P(Y )P(D | Y )  P(Z )P(D | Z )  0,037 .Entonces, por la fórmula de Bayes.

Fuente: Apuntes de Probabilidad y Estadística de la UNIDEG