Procesos estocásticos finitos y diagramas de árbol
Consideremos un proceso estocástico (finito), es decir, una sucesión finita de experimentos, donde cada experimento tiene un número finito de resultados con sus probabilidades dadas. Una forma conveniente de describir tales procesos es por medio de un diagrama de árbol, como se representa más abajo. El teorema de la multiplicación (Teorema 3.11) se puede usar para calcular la probabilidad de un suceso que se represente a por una secuencia dada en el árbol.
(a) Supongamos las siguientes cajas:
– La caja X tiene 10 bombillas, de las que 4 son defectuosas.
– La caja Y tiene 6, de las que sólo una es defectuosa.
– La caja Z tiene 8, de las que 3 están defectuosas.
Se escoge una caja al azar, y entonces se escoge una bombilla al azar de la caja elegida. Hallar la probabilidad p de que la bombilla no sea defectuosa.
Aquí, formamos una sucesión de dos experimentos:
(i) Elegir una de las tres cajas.
(ii) Elegir una bombilla que será defectuosa ( D) o no (N).
El diagrama de árbol de la Figura 3.8 describe este proceso y nos da la probabilidad en cada rama del árbol. El teorema de la multiplicación nos dice que la probabilidad de un sendero dado del árbol es el producto de las probabilidades de cada rama del sendero. Por ejemplo, la probabilidad de elegir la caja X y una bombilla no defectuosa N de dicha caja X es
Como hay tres caminos independientes que nos llevan a una bombilla no defectuosa, la suma de las probabilidades de estos caminos nos da la probabilidad requerida.
(b) Consideremos el proceso estocástico del apartado (a) Si se escoge una bombilla no defectuosa, hallar la probabilidad de que la misma sea de la caja Z. Con otras palabras, hallar P(Z|N), la probabilidad condicionada de la caja Z y la bombilla no defectuosa N.
El escoger la caja Z y la bombilla no defectuosa N puede ocurrir solamente el siguiente camino de abajo, cuya probabilidad es
Con otras palabras, dividimos la probabilidad del camino satisfactorio por la probabilidad del espacio muestral reducido, que se compone de todos los caminos que llevan a N.
Fuente: Apuntes de Probabilidad y Estadística de la UNIDEG
