Probabilidad condicionada

Supongamos que E es un suceso de un espacio muestral S con P(E)> 0. La probabilidad de que un suceso A ocurra una vez que ha ocurrido E, o concretamete, la probabilidad condicional de A dado E, escrito P(A/E), se define como sigue:

Como se representa en el diagrama de Venn en la Figura 3.7, P(A/E) mide, en cierto modo, la probabilidad relativa de A con respecto al espacio reducido de E.

Ahora supongamos que S es un espacio equiprobable, y sea n(A) el número de elementos en el suceso A. Entonces

Exponemos este resultado formalmente:

Teorema 3.10. Supongamos que S es un espacio equiprobable y que A y B son sucesos. Entonces

(a) Se tiran un par de dados. El espacio muestral S se compone de 36 pares ordenados (a, b) donde a y b puede ser cualquiera de los números enteros de 1 a l 6. Así la probabilidad de que salga cualquier punto es 1/36. Hallar la probabilidad de que salga un dos en uno de los dados, si la suma ha salido 6. Es decir, hallar P(A/E) donde

Hallar también P(A).

Ahora, E se compone de 5 elementos:

Dos de ellos, (2, 4) y (4, 2) pertenecen a A, es decir, A I E  {(2,4), (4,2)} . Por el Teorema 3.10, P(A/E) = 2/5.

Por otra parte A se compone de los siguientes 11 elementos:

y S tiene 36 elementos; de ahí que P(A) = 11/36.

(b) Un matrimonio tiene dos hijos; el espacio muestral S  {dd, bg, gb, gg} con una probabilidad de 1/4 para cada uno. Hallar la probabilidad p de que ambos hijos sean niños si se sabe que: (i) al menos uno de los hijos es un niño, (ii) el otro hijo es un niño.

(i) Aquí el espacio muestral reducido se compone de tres elementos, {bb, bg, gb}; de ahí que p = 1/3

(ii) Aquí el espacio muestral reducido se compone de dos elementos, {bb, bg, gb}; de ahí que p = 1/2

Fuente: Apuntes de Probabilidad y Estadística de la UNIDEG