Los siguientes teoremas son consecuencia directa de los cuatro axiomas.
Teorema 3.1. La probabilidad del suceso imposible, o en otras palabras del conjunto vacío es nula, es decir, P( Ø) = 0.
El siguiente teorema, llamado la regla del complementario, formaliza nuestra intuición de que si logramos un objetivo, digamos p = 1/3 de las veces, fallaremos el mismo objetivo 1 – p = 2/3 de las veces. (Recalquemos que Ac indica el complementario del conjunto A.)
Teorema 3.2 (regla del complementario). Para cualquier suceso A, se verifica que
El siguiente teorema nos dice que la probabilidad de cualquier suceso estará entre 0 y 1. Es decir:
Teorema 3.3. Para cualquier suceso A se cumple que 0 ≤ P(A) ≤ 1
El siguiente teorema se aplica para el caso de que un suceso sea un subconjunto de otro suceso.
Teorema 3.4. Si A ≤ B entonces P(A) ≤ P (B).
El siguiente teorema se refiere a dos sucesos arbitrarios.
Teorema 3.5. Para dos sucesos cualesquiera A y B, se verifica que
P(A\B) = P(A) – P(A I B)
El siguiente teorema, llamado la regla general de la adición, o simplemente regla de adición, es parecido al principio de inclusión y exclusión de conjuntos.
Teorema 3.6. Para dos sucesos cualesquiera A y B,
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A I B)
Aplicando el teorema anterior dos veces obtenemos que:
Corolario 3.7. Para tres sucesos cualesquiera A, B, C, se verifica que:
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A I B) – P(A I C) – P(B I C) + P(A
I B I C)
Claramente, como el principio de inclusión y exclusión análogo para conjuntos, la regla de la adición se puede generalizar a cualquier número finito de conjuntos.
Fuente: Apuntes de Probabilidad y Estadística de la UNIDEG