Introducción a la probabilidad
La teoría de la Probabilidad es el modelo matemático del fenómeno de la aleatoriedad. Si se tira una moneda de manera aleatoria, puede salir cara o cruz, pero en una sola tirada no sabemos cuál saldrá. Sin embargo, supongamos que sea s el número de veces que sale cara al tirar una moneda n veces.
A medida que aumenta n , el ratio f = s/n, llamado frecuencia relativa, se hace más estable. Si la moneda es perfecta, esperaremos que saldrá cara aproximadamente el 50% de las veces o, con otras palabras, que la frecuencia relativa se acercará a 1/2. Alternativamente podremos llegar al resultado de 1/2 de forma deductiva.
Es decir, cualquier lado de la moneda tiene las mismas posibilidades de salir que el otro; de ahí que las oportunidades de sacar cara son 1 de 2, lo que significa que la probabilidad de sacar cara es 1/2. Aunque se desconozca el resultado concreto de una tirada, se determina un comportamiento a Iargo plazo. Esta estabilidad en el comportamiento de un fenómeno aleatorio en el largo plazo forma la base de la teoría de la probabilidad.
Consideremos otro experimento: tirar un dado de seis caras (Fig. 3.1), y observar el número de puntos que salen en la cara superior. Supongamos que el experimento se repite n veces y sea s el número de veces que aparecen arriba 4 puntos, A medida que aumenta n, la frecuencia relativa f = s/n de que salga 4 se hace más estable. Asumiendo que el dado es perfecto, esperaremos que el valor a largo plazo o estable de este ratio sea 1/6, y diremos que la probabilidad de obtener 4 es 1/6.
Alternativamente, podemos llegar al valor 1/6 de forma deductiva. Es decir, con un dado perfecto cualquier cara del mismo tiene las mismas posibilidades de quedar boca arriba que otra. Así la posibilidad de sacar 4 es de una entre seis o, en otras palabras, la probabilidad se sacar 4 es 1/6. Aunque el resultado específico de cualquier tirada es desconocido, se puede determinar un comportamiento a largo plazo.
El desarrollo histórico de la teoría de la probabilidad es similar a la discusión anterior. Es decir, sea E un suceso, un resultado de un experimento, hay dos maneras de obtener la probabilidad p de E:
(a) Definición clásica (o a priori): supongamos que un suceso E puede ocurrir de s maneras de un total de n posibilidades iguales. Entonces p = s/n.
(b) Definición frecuentista (o a posteriori): supongamos que después de n repeticiones, donde n es grande, un suceso E ocurre s veces. Entonces p = s/n.
Ambas teorías tienen defectos importantes. La definición clásica es esencialmente circular, ya que la idea de «posibilidades iguales» es la misma que «con la misma probabilidad» y no ha sido definida. La frecuentista no está bien definida, ya que «grande» tampoco ha sido definido.
El tratamiento moderno de la teoría de la probabilidad es axiomático, usando la teoría de conjuntos. Concretamente, un modelo matemático de un experimento se obtiene asignado arbitrariamente probabilidades a todos los sucesos, excepto por el hecho de que las asignaciones deben cumplir determinados axiomas que expondremos más adelante.
Naturalmente, la fiabilidad de nuestro modelo matemático para un experimento dado depende de lo cerca que estén las probabilidades asignadas a los límites de las frecuencias relativas. Esto da lugar a problemas de pruebas y fiabilidad que lleva a la parte subjetiva de la estadística.
Fuente: Apuntes de Probabilidad y Estadística de la UNIDEG
