Muestras ordenadas

Muchos problemas en el análisis combinatorio y, en particular, en probabilidad y estadística tienen que ver con elegir un elemento de un conjunto S que contiene n elementos (o una carta de una baraja o una persona de una población). Cuando elegimos un elemento después de otro en un conjunto S, digamos r veces, llamamos a la elección muestra ordenada de tamaño r. Consideremos dos casos:

1. Muestreo con reemplazamiento

El elemento escogido se vuelve a poner en el conjunto S antes de escoger otro elemento. Como hay n diferentes posibilidades de elegir un elemento (ya que se permiten las repeticiones), el principio del producto nos dice que hay

diferentes muestras con reemplazamiento de tamaño r.

2. Muestreo sin reemplazamiento

El elemento no se vuelve a introducir en el conjunto S antes de escoger el siguiente elemento. No hay por tanto repeticiones en la muestra. De acuerdo con esto, una muestra ordenada de tamaño r sin reemplazamiento es simplemente una r permutación de los elementos en el conjunto S con n elementos. Así hay

diferentes muestras ordenadas sin reemplazamiento de tamaño r en una población (conjunto) con n elementos. En otras palabras, por la regla del producto, el primer elemento se puede elegir entre n posibilidades, el segundo entre n – 1, y así sucesivamente.

Se escogen tres cartas sucesivamente de una baraja de 52 cartas. Hallar el número de formas en que esto se puede hacer

(a) con reemplazamiento
(b) sin reemplazamiento

(a) Como cada carta se reemplaza antes de elegir la carta siguiente, cada carta se puede elegir de entre 52 posibilidades. Así hay

diferentes muestras ordenadas de tamaño r = 3 con reemplazamiento.

(b) Como no se puede reemplazar la carta, la primera se puede elegir entre 52, la segunda de entre 51, y la última de entre 50. Así h ay

diferentes muestras ordenadas de tamaño r = 3 sin reemplazamiento.

Fuente: Apuntes de Probabilidad y Estadística de la UNIDEG