Principios de inclusión exclusión
Hay también una fórmula para n(A U B) incluso cuando no son disjuntos, llamada el principio de exclusión-inclusión.
Teorema 2.6. (principio de exclusión-inclusión). Supongamos que A y B son conjuntos finitos. Entonces A I B y A U B son finitos y
Es decir, hallamos el número de elementos de A o B (o de ambos) sumando primero n(A) y n (B) (inclusión) y luego restando n(A I B) (exclusión), ya que sus elementos se contaron dos veces.
Podemos aplicarlo con tres conjuntos para conseguir un resultado similar.
Corolario 2.7. Supongamos que A, B, C son conjuntos finitos. Entonces A U B U C es finito y
Se puede usar la inducción matemática para generalizar este resultado a cualquier número finito de conjuntos finitos.
Supongamos que una serie A contiene 30 alumnos de una clase de matemáticas, y una serie B que contiene 35 alumnos de una clase de inglés, y supongamos que en ambas series coinciden 20 nombres. Hallar el número de alumnos que:
(a) Están en la serie A o en la B.
(b) Sólo en la A.
(c) Sólo en la B.
(d) En sólo una de las series.
(a) Hallamos n(A U B) por medio del teorema 2.6:
En otras palabras, combinamos las dos series y tachamos los 20 nombres que aparecen dos veces.
(b) La serie A contiene 30 nombres y 20 de ellos están en la serie B; de ahí que 30 – 20 = nombres que sólo Aparecen en la serie A. Es decir, aplicando el Teorema 2.5,
(c) De forma similar, hay 35 – 20 = 15 nombres que sólo aparecen en la serie. Es decir:
(d) Por el resultado de (b) y de (c), hay 10 + 15 = 25 nombres que sólo aparecen en una de las dos series. En otras palabras n(A Θ B) = 25.
Fuente: Apuntes de Probabilidad y Estadística de la UNIDEG
