El Mínimo común múltiplo

Observe en las listas de múltiplos que pusimos al principio de la lección que hay múltiplos en común a varios números. Por ejemplo ya vimos que todos los múltiplos de 6 también son múltiplos de 2 y de 3: un múltiplo de 6 es múltiplo común de 2 y 3. Si tenemos varios números, siempre podemos encontrar múltiplos comunes de ellos, por ejemplo 10, 20, 30, etc. son múltiplos comunes de 2, 5 y 10. De los múltiplos comunes de varios números el más importante es el más pequeño, el mínimo común múltiplo, por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 2, 5 y 10 es 10; el mínimo común múltiplo de 3, 5 y 9 es 45.

Todos los múltiplos que tengan en común los números que elijamos son múltiplos de su mínimo común múltiplo. Por ejemplo, 20, 30, 40, 50 son todos múltiplos comunes de 2, 5 y 10, y todos son múltiplos del mínimo común múltiplo, que es 10.

Para encontrar el mínimo común múltiplo de varios números, primero los descomponemos en factores primos y luego nos fijamos en cuáles números primos aparecen en cada número y cuántas veces aparece cada primo, tomamos todos los números primos distintos que aparecieron y cada uno lo tomamos en la mayor cantidad de veces que haya aparecido y multiplicamos. Por ejemplo, si queremos encontrar el mínimo común múltiplo de 24, 45 y 70, primero los descomponemos en factores primos:

Los números primos que aparecen en estas descomposiciones son 2, 3, 5 y 7. La mayor cantidad de veces que aparecen son: 2 aparece tres veces en 24, 3 aparece dos veces en 45, 5 y 7 siempre aparecen una vez. Entonces el mínimo común múltiplo de 24, 45 y 70 es:

2 ´ 2 ´ 2  ´ 3 ´ 3 ´ 5 ´ 7 =  2520

Se acostumbra abreviar mínimo común múltiplo como mcm y poner los números entre llaves. En esta forma el mínimo común múltiplo de 24, 45 y 70 se escribe:

Mcm {24, 45, 70} 2520

Los conceptos que hemos estudiado aquí son muy útiles para resolver algunas situaciones prácticas. Veamos un ejemplo. En la fábrica «La Martiniana» producen tela y le estampan en la orilla el nombre de la fábrica con una máquina. Esa máquina funciona así: tiene un sello con el nombre, que mide 9 cm., y hace avanzar la tela por tramos de 9 cm. En cada tramo se le da instrucciones a la máquina para que baje el sello o no lo baje: por ejemplo, si se quiere poner el sello cada 27 cm., se le ordena a la máquina que baje el sello una vez sí y dos veces no. Ahora «La Martiniana» va a empezar a exportar tela por rollo a los Estados Unidos. Los exportadores deben marcar los productos con la leyenda «Hecho en México». El método más barato es estampar esta leyenda en la orilla de la tela, con la misma máquina con la que estampan el nombre de la fábrica. Entonces mandan a hacer un sello con la leyenda «Hecho en México», que mide 6 cm.: cuando se desea poner este sello, la máquina avanza por tramos de 6 cm.

Como la máquina sólo puede escribir un renglón, aunque se le puede decir a qué distancia del borde de la tela, van a pasar la tela dos veces, pero el dueño quiere que coincida el inicio de los dos sellos. ¿Qué instrucciones se le deben dar a la máquina?

Como 9 = 3 ´ 3 y 6 = 2 ´ 3, su mínimo común múltiplo es 3 ´ 3 ´ 2 = 18, entonces los múltiplos comunes de 9 y 6 son   los múltiplos de 18, es decir: 0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, …. La distancia más corta en la que pueden aparecer los dos letreros es 18 cm.: cuando se pone el sello con el nombre de la fábrica se le ordena a la máquina que baje una vez sí y una vez no, y cuando se pone el sello de «Hecho en México» se le ordena que baje una vez sí y dos veces no. Sin embargo, así se gasta mucha tinta, y los requisitos para la exportación son que la leyenda debe aparecer por lo menos una vez cada  metro, o sea cada 100 cm. Entonces se puede tomar el múltiplo común más grande pero menor que 100, que es 90. Como 90 = 9 ´ 10 y 90 = 6 ´ 15, se le ordena a la máquina que cuando estampe el nombre de la fábrica baje una vez sí y nueve veces no, y cuando estampe la leyenda para exportación baje una vez sí y catorce veces no. Ambos letreros aparecerán, alineados, cada 90 cm.