Las fracciones equivalentes

No siempre podemos trabajar con unidades divididas decimalmente; con frecuencia nos conviene partir de otra manera lo que tenemos para usarlo. Cuando partimos de distintas maneras a veces necesitamos saber cuánto tenemos en total. En esta lección vamos a trabajar sobre estos conceptos.

Observe las siguientes figuras. En ellas la unidad es el rectángulo A. Hemos partido la unidad en diversas formas pero siempre en partes iguales. Cuando partimos la unidad que tenemos en 2 partes iguales cada pedazo se llama mitad o medio y la unidad queda partida en 2 mitades Esto lo expresamos como 1 = . Si partimos la unidad en 3 partes iguales, cada parte se llama tercio y la unidad queda partida en 3 tercios. Eso se expresa como 1 = . En el dibujo de abajo también hemos partido la unidad en sextos y en cuartos. Abajo de cada dibujo pusimos la manera en que queda partida la unidad y el nombre de las partes.

En la forma en que estamos expresando estas particiones el número de abajo sirve para decir en cuántas partes iguales se fraccionó la unidad y el número de arriba para decir cuántas partes tomamos. De estos números, el de arriba se llama numerador (el que numera o cuenta), y el de abajo denominador (el que da nombre), y la expresión se llama completa fracción o quebrado. En las figuras de arriba son iguales el numerador y el denominador porque tomamos todas las partes que forman la unidad.

Para decir de qué tamaño es un trozo de la unidad con respecto al entero usamos la misma notación. Por ejemplo, en la figura siguiente tenemos las mismas particiones que antes pero hemos marcado en G un medio, en H un tercio, en I dos sextos, en J un medio y en K dos cuartos. Al pie de cada dibujo hemos anotado cómo se escribe la parte sombreada.

Observe que en las figuras G, J y K se marcó la misma cantidad de área aunque la manera de partir es distinta. En este caso se dice que tenemos fracciones equivalentes y eso significa que expresan la misma cantidad. Lo mismo sucede con las figuras H e I.

En las figuras G y J tenemos dos maneras de partir la unidad en dos partes iguales y en cada figura marcamos un medio. En K tenemos la unidad partida en cuatro partes iguales pero hemos tomado dos de ellas y juntas también son la mitad del rectángulo; esto se expresa como 1/2=2/4 . En las figuras H e I tenemos 1/3 =2/6 pero hay muchas otras maneras de tener esa misma cantidad. Observe las siguientes figuras en las que el rectángulo U es la unidad; en ellas se ha marcado la misma cantidad de área de muchas maneras:

En las figuras anteriores se ha marcado la tercera parte del área del rectángulo U con diversas fracciones. Estas fracciones son equivalentes porque expresan la misma cantidad, un tercio:

Estas operaciones corresponden a obtener una partición más fina, de partes más pequeñas.

De esta manera es posible obtener todas las fracciones equivalentes que se quiera. Tomamos una fracción y multiplicamos numerador y denominador por el mismo número natural. Por ejemplo, dos diecisieteavos es equivalente a dieciséis ciento-treinta-y-seis-avos porque 2 ´ 8 = 16 y 17 ´ 8 = 136.

Observe también que si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, entonces al hacer esas divisiones obtenemos una fracción equivalente. Lo que se hace con esto es agrupar partes pequeñas en una mayor. Por ejemplo:

Si se obtienen fracciones equivalentes con este proceso se dice que se simplifica o que se reduce una fracción. Cuando el numerador y el denominador de una fracción no tienen divi-sores en común se dice que la fracción es irreductible, es decir que no se puede reducir. Por ejemplo, podemos simplificar la fracción cuarenta y ocho sesentavos dividiendo entre dos, dos veces, y luego entre tres, una vez. Obtenemos una fracción que ya no se puede simplificar más.

Saber encontrar fracciones equivalentes es muy útil, s o b r e todo para comparar fracciones y para hacer operaciones con ellas. Por ejemplo, si queremos saber qué es más grande, tres quintos o cuatro séptimos, buscamos una manera de dividir la unidad que permita expresar tanto séptimos como quintos y vemos cuál es mayor directamente. Veamos cómo hacer esto.

Si queremos tener quintos debemos partir en 5 o en un múltiplo de 5, y si queremos tener séptimos debemos partir en 7 o en un múltiplo de 7. Necesitamos entonces un múltiplo común de 7 y 5; puede ser cualquiera de sus múltiplos en común pero, si no queremos acabar trabajando con números muy grandes, conviene que sea el mínimo común múltiplo de estos números, mcm {5, 7}. Como 5 y 7 son números primos, no tienen divisores en común, y entonces mcm {5, 7} = 5 ´ 7 = 35. Debemos entonces escribir los dos quebrados con denominador 35:

tenemos un quebrado con el numerador más chico que el denominador, tenemos menos que una unidad y decimos que es una fracción propia. Por ejemplo,  y son fracciones propias. Sin embargo podemos tener un quebrado con el numerador mayor que el denominador; en ese caso tenemos más que una unidad y decimos que es una fracción impropia. Por ejemplo, 7/4,11/20, 32/360 y son fracciones impropias. También podemos escribir las fracciones 23/10, 132/25impropias como los enteros que forman y una fracción propia. Por ejemplo, en siete quintos tenemos un entero y dos quintos; esto se acostumbra escribir como = 1 y se lee un entero dos quintos. Cuando tenemos enteros y fracciones en esta forma decimos que es una fracción mixta. Por ejemplo, 5 y 14 son fracciones mixtas.