Los sistemas de numeración

No siempre podemos trabajar con unidades enteras. Con frecuencia tenemos que partir lo que tenemos para usarlo. En esta lección veremos una manera de expresar partes de una unidad a través del sistema de numeración decimal, que ya hemos empezado a estudiar.

Recuerde que nuestro sistema de numeración es d e c i m a l porque agrupa de diez en diez las unidades, decenas, etc.; y es posicional porque el lugar que ocupa una cifra nos dice de qué tamaño son los grupos que estamos contando. Para

contar cuántos grupos de cada tamaño tenemos, este sistema utiliza diez símbolos, que son los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Para escribir partes de una unidad con el sistema decimal vamos a partir la unidad en diez partes iguales; cada una de esas partes se llama décimo. Si con una primera partición no

podemos todavía expresar la cantidad que tenemos, partimos los pedacitos en diez partes, etc.

Veamos un ejemplo. Queremos expresar la cantidad de área que tenemos sombreada en la siguiente figura, utilizando como unidad el cuadrado R. El área sombreada es una unidad y un trozo. Para saber qué parte de la unidad es ese trozo, o sea lo que queda en el segundo rectángulo, partimos el rectángulo en diez partes. Cada una de esas «rebanadas» es un décimo del área. Tenemos 3 décimos sombreados y hay un pedazo sombreado que sobra, que es más chico que un décimo.

Para saber de qué tamaño es el pedazo que nos falta medir, partimos los décimos en diez partes cada uno. El rectángulo nos queda partido en 10 ´ 10 = 100 pedazos iguales, y cada uno de estos pedacitos es un centésimo.  Con siete de ellos, ahora sí abarcamos exactamente el área sombreada. Sabemos entonces que toda esa área es: 1 unidad, 3 décimos y 7 centésimos.

Para expresar en el sistema decimal una cantidad como la que acabamos de obtener vamos a usar posiciones como en el caso de los enteros. Primero ponemos un punto que sirve para separar los enteros de las fracciones y que se llama punto decimal. A la izquierda del punto escribimos los enteros como siempre. A la derecha del punto escribimos la cantidad de pedazos que tenemos de cada tamaño empezando con los pedazos más grandes, los décimos, y luego los centésimos.

En nuestro ejemplo tenemos un entero, tres décimos y siete centésimos: entonces escribimos 1.37. Este número lo podemos leer también como un entero treinta y siete centésimos. Observe en el último dibujo que los tres décimos que contamos inicialmente quedaron partidos en 30 centésimos.

Si partimos los centésimos en diez partes iguales cada uno, la unidad nos queda dividida en 100 ´10 = 10 ´10 ´10 = 1000 pedacitos y cada uno de ellos se llama milésimo. La cantidad de milésimos que tengamos se escribe a la derecha de los centésimos y leemos esa parte fraccionaria como si fuera un entero pero al final decimos el nombre de los pedazos más chicos, es decir del menor orden que tenemos. Por ejemplo, trescientas cuarenta y dos unidades, 4 décimos, 6 centésimos y 9 milésimos se escriben 342.469 y se lee trescientas cuarenta y dos unidades cuatrocientos sesenta y nueve milésimos.

Si partimos en milésimos el rectángulo de nuestro ejemplo, el área sombreada será equivalente a 1.370, es decir, una unidad con trescientos setenta milésimos. Observe que entonces tenemos que 1.37 = 1.370.

Se puede seguir partiendo tanto como se necesite; el nombre del orden dice en cuántas partes se dividió el entero. Observe que cada vez que partimos en diez, obtenemos la cantidad de pedacitos multiplicando por diez. Aquí vamos a multiplicar muchas veces por diez; conviene

entonces detenernos un momento para hacer un acuerdo de notación.

Recuerde que si multiplicamos un número por sí mismo, para abreviar la escritura, escribimos un 2 pequeño en la parte superior del número. Por ejemplo 10 ´ 10 = 10 2 . Si multiplicamos un número por sí mismo varias veces podemos abreviar la escritura de esta operación haciendo lo mismo. Se pone en la parte superior derecha del número la cantidad de veces que multiplicamos en pequeño. Por ejemplo, 10 ´ 1 0 ´ 10 = 1 0 3 , 10 ´ 1 0 ´ 1 0 ´ 1 0 = 1 0 4 , etc. Se dice que obtuvimos la tercera potencia de 10, la cuarta potencia de 10, etc. También se dice que elevamos 10 a la tercera potencia, etc. El número pequeño, nos indica cuántas veces se multiplica el número que tenemos por sí mismo, se llama exponente.

Regresemos a las fracciones decimales. Para recordar los nombres, significados y escritura de los órdenes más usuales de las fracciones decimales, ponemos una tabla y algunos ejemplos.

Observe que un décimo es igual a diez centésimos y a cien milésimos y a mil diezmilésimos, etc: 0.1 = 0.10 = 0.100 = 0.1000 = 0.10000 = ……. Análogamente, un centésimo es igual a diez milésimos y a cien diezmilésimos y a mil cienmilésimos, etc: 0.01 = 0.010 = 0.0100 = 0.01000 = 0.010000 = ……. En general, podemos agregar todos los ceros que queramos a la derecha de la última cifra de un número decimal sin alter ar el número.

Combinando las partes que aparecen en la tabla y contando cuántas tenemos de cada tamaño podemos escribir y leer cualquier número decimal. Por ejemplo, 13.765438 se lee trece unidades setecientos sesenta y cinco mil cuatrocientos treinta y ocho millonésimos.

Aunque no sepamos cómo se llaman las partes en que se divide el entero, podemos dividir todas las veces que queramos en diez partecitas. Se pueden escribir decimales con cualquier cantidad de cifras. Por ejemplo, 890.3049586732, 1.22223349939392223, etc. Todo lo que va a la derecha del punto decimal de un número se llama la expansión decimal del número. Hay números que tienen una expansión decimal que no se termina; se dice que tienen expansión decimal infinita. Por ejemplo: 2.333…. Los puntos suspensivos en este número significan que sigue 3 un número infinito de veces. Cuando la expansión decimal de un número se acaba, aunque sea muy larga, se dice que tiene expansión decimal finita. Por ejemplo: 2.33, 5.9833, 84.55555888883939222939, 29888.9393939222929399932221929292475751. Esto último no incluye a los ceros que se pueden agregar a la derecha de la última cifra; por ejemplo, 6.7705000000… es un número con expansión decimal finita, porque es igual a 6.7705.

Recuerde que en cada posición sólo podemos escribir un dígito. Si juntamos diez partes de un mismo tamaño las agrupamos para formar una unidad del orden inmediato superior. Por ejemplo, si tenemos quince centésimos, los reagrupamos y tenemos un décimo y cinco centésimos. Si tenemos 56 décimos, los reagrupamos y formamos 5 unidades y 6 décimos, etc.