Los números enteros y orden

Recordemos un ejemplo que vimos en la lección 2: Si vamos a la tienda con $20, podemos gastar por ejemplo $5 y nos quedan $15, si gastamos $12 nos quedan $8, etc.: mientras más gastamos menos nos queda. Si gastamos $20 no nos queda nada, si gastamos $25 quedamos a deber $5, si gastamos $27 quedamos a deber $7 y cada vez nos queda menos.Si seguimos gastando nos tendremos que conseguir otro trabajo.

En matemáticas se inventaron los números negativos para poder escribir este tipode situaciones en las que «quedamos a deber» y lo que describimos es lo que nos queda: una deuda. Escribimos las deudas del ejemplo como –5 y –7; estos números se leen «menos cinco» y «menos siete» o bien «cinco negativo» y «siete negativo». Para que esta representación sirva, debe reflejar toda la situación de

nuestro ejemplo, entonces debe reflejar que «mientras más gastamos , menos tenemos»: cada peso más que gastemos debemos quedar más lejos de los $20 que teníamos.

Por cada número natural vamos a tener su correspondiente número negativo y los vamos a representar en la recta numérica «a espejo» de los naturales, del otro lado del cero, como si pusiéramos un espejo en el cero, empezamos con –1, –2, –3, … y nos vamos alejando del cero.

Los números naturales y sus correspondientes negativos se llaman números enteros. En la recta numérica los números son más grandes mientras más a la derecha están, por ejemplo 11 es mayor que 7, 4 es mayor que 0, cero y todos los positivos son mayores que los negativos, –1 es mayor que –8, –4 es mayor que –5, etc. Observe que también el orden nos queda «a espejo»: tenemos que 7 es mayor que 3 y que –3 es mayor que –7.

Para saber cuál es mayor entre dos números negativos, por ejemplo –376 y –384, nos fijamos en sus correspondientes positivos, 376 y 384. Como 384 es mayor que 374, en los negativos nos va a quedar al revés, a espejo: es decir, –376 es mayor que –384. Observe que en la recta numérica –376 queda a la derecha de –384:

Veamos ahora como representar con símbolos la expresión «–376 es mayor que –384». Como usted sabe, que el signo = significa «igual que», por eso escribimos 6 = 2 ´ 3. De un modo similar podemos reemplazar por signos las expresiones «mayor que» y «menor que».

Por ejemplo en lugar de la expresión «26 es mayor que 15», podemos escribir 26 > 15 y en lugar de «26 es menor que 36», podemos escribir 26 < 36.

Veamos en algunos ejemplos como se leen estos símbolos: Se escribe Se lee

5 < 23 5     es menor que     23
0 < 17 0     es menor que     17
–6 < 2 –6     es menor que     2
–32 < 0 –32     es menor que     0
–9 < –5 –9     es menor que      –5
13 > 7 13     es mayor que     7
1 > 0 1     es mayor que     0
8 > –21 8     es mayor que     –21
0 > –1 0     es mayor que     –1
–376 > –384 –376     es mayor que      –384

Los números negativos se usan en muchas situaciones cotidianas. Usted seguramente habrá oído expresiones como 3 grados centígrados bajo cero cuando se habla de temperatura, 200 metros bajo el nivel del mar cuando se habla del tiro de una mina, o números rojos cuando se habla de contabilidad. Todas esas expresiones hacen referencia a números negativos.

Un número natural y su correspondiente negativo son simétricoscon respecto al cero: están a la misma distancia del cero.

A esa distancia le llamamos valor absoluto del número y larepresentamos poniendo el número entre barras. Por ejemplo:

|–384| = 384 y |384| = 384.

Estas expresiones se leen: «el valor absoluto de menos 384 es 384» y «el valor absoluto de 384 es 384». Observe que el valor absoluto siempre es positivo porque es una distancia.

En la siguiente recta se representa el valor absoluto de –3 y el valor absoluto de 3:

|–3|=3

-6     -5     -4      -3     -2     -1      0     1     2      3     4     5      6

|3|=3